5 класс · Дроби

Примеры вычислений с дробями

Черта дроби — это тоже знак деления

Мы уже знаем: частное двух натуральных чисел равно дроби, у которой делимое — числитель, а делитель — знаменатель. Например, $5:12=\tfrac{5}{12}$. Но верно и обратное: черту дроби можно читать как знак деления. Это особенно удобно, когда нужно записать частное двух сложных выражений одной короткой строкой.

Например, частное $\left(\tfrac12-\tfrac15\right):\left(\tfrac{8}{15}+\tfrac{3}{10}\right)$ можно записать в виде дроби:

$$\dfrac{\tfrac12-\tfrac15}{\tfrac{8}{15}+\tfrac{3}{10}}$$

Такую запись называют «многоэтажной» дробью — «этажи» здесь не квартиры, а сами дроби внутри числителя и знаменателя. При вычислении такой дроби последним всегда выполняется деление: то, что стоит над чертой, делят на то, что стоит под чертой.

Определение. «Многоэтажная» дробь — это запись деления двух выражений через общую дробную черту: $$\dfrac{\text{числитель (выражение)}}{\text{знаменатель (выражение)}} = \text{числитель} : \text{знаменатель}.$$ Сначала вычисляют числитель и знаменатель по отдельности, а затем делят одно на другое.

Пример «по действиям» и «цепочкой»

1

Вычисляем числитель: $\tfrac12-\tfrac15=\tfrac{5}{10}-\tfrac{2}{10}=\tfrac{3}{10}$.

2

Вычисляем знаменатель: $\tfrac{8}{15}+\tfrac{3}{10}=\tfrac{16}{30}+\tfrac{9}{30}=\tfrac{25}{30}=\tfrac56$.

3

Делим числитель на знаменатель: $\tfrac{3}{10}:\tfrac56=\tfrac{3}{10}\cdot\tfrac65=\tfrac{18}{50}=\tfrac{9}{25}$.

Ту же самую цепочку действий можно записать компактнее, не выделяя отдельные шаги, а просто заменяя одну дробь на другую слева направо: $$\dfrac{\tfrac12-\tfrac15}{\tfrac{8}{15}+\tfrac{3}{10}}=\dfrac{\tfrac{3}{10}}{\tfrac56}=\tfrac{3}{10}:\tfrac56=\tfrac{3}{10}\cdot\tfrac65=\tfrac{9}{25}.$$

          💡 Быстрый способ. Взгляни на блок
          «×30 — быстрый способ» справа: если умножить и
          числитель, и знаменатель многоэтажной дроби на одно и то же число, дробь не изменится (это то самое
          основное свойство дроби). Возьмём число $30$ — это наименьшее общее кратное всех знаменателей
          $2,5,10,15$, входящих в запись: $\text{НОК}(2,5,10,15)=30$. Тогда и числитель, и знаменатель сразу
          станут целыми: $$\dfrac{\left(\tfrac12-\tfrac15\right)\cdot30}{\left(\tfrac{8}{15}+\tfrac{3}{10}\right)\cdot30}=\dfrac{15-6}{16+9}=\dfrac{9}{25}.$$
        

Переход к натуральным числам

Быстрый способ из примера выше — не случайность. Во многих вычислениях с дробями быстрее всего привести цель — умножить всё выражение на наименьшее общее кратное (НОК) всех знаменателей. Тогда все дроби на время «превращаются» в натуральные числа, с которыми считать гораздо проще, а уже потом возвращаются обратно к дробному ответу.

          💡 Из жизни: представь, что нужно сложить суммы в рублях, копейках и центах сразу.
          Проще всего перевести все суммы в одну «валюту» — например, в копейки, — сложить обычные целые числа,
          а в конце снова разделить на 100 и вернуться к рублям. Умножение на НОК знаменателей — это ровно такой
          «обмен валюты»: дроби на мгновение становятся целыми числами, а после ответ переводится обратно в
          дробь.
        

Пример 1. Вычислить $S=1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\tfrac15-\tfrac16$

1

Наименьшее общее кратное знаменателей $1,2,3,4,5,6$ — число $60$. Подсчитаем, чему равно $60S$.

2

$60S=60-30+20-15+12-10=37$ — каждое слагаемое умножили на $60$ и получили целое число.

3

Раз $60S=37$, то $S=\tfrac{37}{60}$ — дробь уже несократима.

Тот же приём отлично работает и в других примерах. Проверь в блоке Пример 2: $\tfrac12+\tfrac13+\tfrac16+\tfrac19+\tfrac1{18}$ (НОК знаменателей — $18$) и в блоке Пример 3: $\tfrac12-\tfrac14+\tfrac18-\tfrac1{16}+\tfrac1{32}-\tfrac1{64}$ (НОК знаменателей — $64$), как одинаковые по знаменателю дроби превращаются в ряд целых чисел, которые легко сложить и вычесть.

⚠️ Частая ошибка. Умножая выражение на общий знаменатель, ученики иногда забывают умножить каждое слагаемое — включая одинокое целое число (как «$1$» в примере 1) или слагаемое без явного знаменателя. Если пропустить хотя бы один член, равенство перестаёт быть верным. Проверяй себя: количество слагаемых до умножения и после должно совпадать.

Сравнение дробей через переход к целым числам

Тот же приём помогает сравнивать дроби, даже если их не хочется приводить к общему знаменателю вручную. Если умножить обе сравниваемые величины на одно и то же положительное число, неравенство между ними сохранится — направление знака не изменится.

Пример 4. Что больше: $\tfrac1{14}+\tfrac1{16}$ или $\tfrac2{15}$?

1

Умножим обе величины на произведение знаменателей $14\cdot16\cdot15=3360$ — оно точно делится на каждый из знаменателей, поэтому все дроби превратятся в целые числа.

2

$3360\left(\tfrac1{14}+\tfrac1{16}\right)=240+210=450$, а $3360\cdot\tfrac2{15}=448$.

3

$450>448$, а значит и исходные дроби связаны так же: $\tfrac1{14}+\tfrac1{16}>\tfrac2{15}$.

Правило сравнения. Чтобы сравнить два выражения с дробями, можно умножить обе части на любое положительное число, кратное всем знаменателям (проще всего — на их произведение). Знак неравенства между целыми числами, которые получатся, будет таким же, как и между исходными дробными выражениями.

Такой же приём применён в примере 5: $\tfrac1{48}+\tfrac1{50}$ и $\tfrac2{49}$ и примере 6: $\tfrac1{11}$ и $\tfrac1{21}+\tfrac1{23}$ — обрати внимание, что во втором случае больше оказывается уже правая величина, а не левая: направление неравенства заранее угадать нельзя, его нужно проверить вычислением.

🧠 Запомни:

Черта дроби — ещё один знак деления: «многоэтажную» дробь вычисляют, деля числитель-выражение на знаменатель-выражение.
Быстрый способ — умножить числитель и знаменатель на НОК всех знаменателей внутри записи; дробь при этом не изменится.
При сложении/вычитании нескольких дробей с разными знаменателями умножение всего выражения на общий знаменатель превращает его в сумму целых чисел.
Сравнивать дробные выражения можно, умножив обе части на одно и то же положительное число — направление неравенства сохранится.
Умножать нужно каждое слагаемое без исключения — иначе результат будет неверным.