Кроме общих утверждений («все», «каждый», «любой»), в математике часто встречается другой
важный тип высказываний — утверждение о том, что в
заданном множестве существует хотя бы один элемент, обладающий определённым свойством.
Например:
Можно найти такое натуральное число $k$, что $57 = 3k$.
Существует такое натуральное число $x$, что $(2x+3):7=11$.
Некоторые люди имеют рост больше 2 м 20 см.
Произведение двух натуральных чисел может быть больше их суммы.
Сумма двух натуральных чисел не всегда делится на 3.
Грибы не всегда съедобны.
Определение. Утверждения типа «хотя бы один» называют также
утверждениями о существовании: в них говорится, что в заданном множестве
существует хотя бы один элемент, обладающий указанным свойством. Слова-подсказки: «можно
найти», «существует», «некоторые», «иногда», «не всегда», «может быть».
Как доказать: достаточно одного примера!
В противоположность утверждению типа «все» — где для доказательства нужно проверить
каждый элемент множества — истинность утверждения типа «хотя бы один» с
помощью примера доказать можно. Один-единственный
подходящий пример — и утверждение доказано.
Так, в первом примере достаточно взять $k=19$ — ведь $57=3\cdot19$, а во втором примере можно
убедиться, что указанным свойством обладает $x=37$. В третьем примере надо найти хотя бы
одного человека ростом выше 2 м 20 см, а в последнем — хотя бы один несъедобный гриб.
💡 Из жизни: Чтобы доказать, что «в этом классе есть хотя бы один
отличник», достаточно назвать одного конкретного ученика с одними пятёрками. Не нужно
проверять весь класс — один подходящий пример полностью доказывает утверждение.
🧠 Заметь разницу: для утверждения «все» один пример ничего не доказывает (нужна проверка
всех случаев или общее рассуждение), а один контрпример его опровергает. Для
утверждения «хотя бы один» — всё наоборот: один подходящий пример его доказывает.
Попробуй на интерактивной модели справа сам подобрать число, доказывающее одно из
утверждений о существовании.
Частая ошибка — «неполный» пример
⚠️ Частая ошибка: при доказательстве утверждения о существовании пример
должен обладать всеми перечисленными свойствами сразу, а не только
некоторыми из них. Например, для утверждения «существуют чётные числа, кратные 3» неверно
приводить в пример число 26: оно действительно чётное, но не кратно 3
($26:3$ не является целым числом) — значит, пример не доказывает утверждение. Нужно число,
удовлетворяющее обоим условиям сразу, например 6 или 12.
Сравнение дробей
Рядом с утверждениями о существовании в учебнике повторяются правила сравнения дробей — они часто нужны, чтобы подобрать
нужный пример или проверить истинность высказывания о дробях.
Правило. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями
больше та, у которой больше числитель. Из двух дробей с
одинаковыми числителями больше та, у которой меньше
знаменатель (ведь целое делится на меньшее число более крупных частей).
Например, $\tfrac{9}{17} > \tfrac{3}{17}$ (числитель больше при том же знаменателе), а
$\tfrac{4}{19} > \tfrac{4}{43}$ (тот же числитель, но знаменатель меньше — значит, каждая
часть крупнее). Разбери оба случая на интерактивной модели справа.
🧠 Запомни:
Утверждение о существовании («хотя бы один», «некоторые», «можно найти») говорит, что
в множестве есть хотя бы один элемент с указанным свойством.
Чтобы доказать такое утверждение, достаточно привести один подходящий
пример.
Пример обязан обладать всеми требуемыми свойствами сразу, а не
частью из них.
Дроби с одинаковым знаменателем: больше та, у которой больше числитель.
Дроби с одинаковым числителем: больше та, у которой меньше знаменатель.