🔑ИдеяЗнак параметра часто переворачивает неравенство или вовсе меняет его смысл. Умножение/деление на выражение с параметром допустимо только когда точно известен его знак — если знак может быть и таким, и таким, приходится разбирать оба случая отдельно, как две разные задачи.
📐ОпределениеРешить неравенство с параметром — для каждого значения параметра найти множество всех решений (оно может быть и пустым). Используются те же соображения, что при уравнениях с параметром: разбиение области параметра на участки.
Пример из учебника
Решим $ax^2 \lt 1$. Три случая по знаку $a$:
1$a=0$: неравенство $0\cdot x^2\lt1$ верно всегда — решение $x\in\mathbb R$.
2$a\gt0$: делим на $a$ (знак не меняется) — $x^2\lt1/a$, решение $x\in(-1/\sqrt a;\,1/\sqrt a)$.
3$a\lt0$: делим на $a$ (знак меняется) — $x^2\gt1/a$, а справа отрицательное число, значит верно при любом $x$.
Квадратное неравенство и дискриминант
Для $x^2+ax+1\ge0$ дискриминант $D=a^2-4$ определяет ответ. При $a\in[-2;2]$ дискриминант $D\le0$ — решение любое $x$. При $|a|\gt2$ появляются два корня $x_{1,2}=\dfrac{-a\mp\sqrt{a^2-4}}{2}$, и решение — объединение двух лучей вне отрезка между корнями.
Логарифмическое неравенство $\log_a(7-x) \gt 2\log_a(x-1)$ дополнительно требует различать $0\lt a\lt1$ (знак неравенства при потенцировании меняется, так как $\log_a$ убывает) и $a\gt1$ (знак сохраняется, $\log_a$ возрастает) — при $a\le0$ и $a=1$ решений нет вовсе.
⚠️Частая ошибкаСамая опасная ловушка — забыть, что при делении неравенства на выражение с параметром знак неравенства меняется на противоположный, если это выражение отрицательно. В примере с $ax^2\lt1$ именно поэтому случай $a\lt0$ даёт совершенно другой ответ ("любое $x$"), чем случай $a\gt0$ — хотя формула похожа.
Запомни
🧠Неравенства с параметром
ответ — список участков параметра с соответствующим множеством решений по x;
умножение/деление на выражение с параметром — знак сохраняется, если оно $\gt0$, меняется, если $\lt0$, и нужен отдельный разбор при $=0$;
для квадратных неравенств граница случаев — знак дискриминанта $D(a)$;
для логарифмических/показательных — граница случаев — основание относительно $1$ (убывает/возрастает).