Алгебра 7–11 класс — теория

Глава 1Действительные числа18 тем · практика у 17

п. 2Исторические сведения · без практики

Глава 2Алгебраические выражения35 тем · практика у всех

§ 4 · Одночлены

п. 4.1Числовые выражения ✓ практика

п. 4.2Буквенные выражения ✓ практика

п. 4.3Понятие одночлена ✓ практика

п. 4.4Произведение одночленов ✓ практика

п. 4.5Стандартный вид одночлена ✓ практика

п. 4.6Подобные одночлены ✓ практика

§ 5 · Многочлены

п. 5.1Понятие многочлена ✓ практика

п. 5.2Свойства многочленов ✓ практика

п. 5.3Многочлены стандартного вида ✓ практика

п. 5.4Сумма и разность многочленов ✓ практика

п. 5.5Произведение одночлена и многочлена ✓ практика

п. 5.6Произведение многочленов ✓ практика

п. 5.7Целые выражения ✓ практика

п. 5.8Числовое значение целого выражения ✓ практика

п. 5.9Тождественное равенство целых выражений ✓ практика

§ 6 · Формулы сокращённого умножения

п. 6.1Квадрат суммы ✓ практика

п. 6.2Квадрат разности ✓ практика

п. 6.3Выделение полного квадрата ✓ практика

п. 6.4Разность квадратов ✓ практика

п. 6.5Сумма кубов ✓ практика

п. 6.6Разность кубов ✓ практика

п. 6.7Куб суммы ✓ практика

п. 6.8Куб разности ✓ практика

п. 6.9Применение формул сокращённого умножения ✓ практика

п. 6.10Разложение многочлена на множители ✓ практика

§ 7 · Алгебраические дроби

п. 7.1Алгебраические дроби и их свойства ✓ практика

п. 7.2Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю ✓ практика

п. 7.3Арифметические действия с алгебраическими дробями ✓ практика

п. 7.4Рациональные выражения ✓ практика

п. 7.5Числовое значение рационального выражения ✓ практика

п. 7.6Тождественное равенство рациональных выражений ✓ практика

§ 8 · Степень с целым показателем

п. 8.1Понятие степени с целым показателем ✓ практика

п. 8.2Свойства степени с целым показателем ✓ практика

п. 8.3Стандартный вид числа ✓ практика

п. 8.4Преобразование рациональных выражений ✓ практика

Глава 3Линейные уравнения16 тем · практика у 15

§ 9 · Линейные уравнения с одним неизвестным

п. 9.1Уравнения первой степени с одним неизвестным ✓ практика

п. 9.2Линейные уравнения с одним неизвестным ✓ практика

п. 9.3Решение линейных уравнений с одним неизвестным ✓ практика

п. 9.4Решение задач с помощью линейных уравнений ✓ практика

§ 10 · Системы линейных уравнений

п. 10.1Уравнения первой степени с двумя неизвестными ✓ практика

п. 10.2Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными ✓ практика

п. 10.3Способ подстановки ✓ практика

п. 10.4Способ уравнивания коэффициентов ✓ практика

п. 10.5Равносильность уравнений и систем уравнений ✓ практика

п. 10.6Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными (частные случаи) ✓ практика

п. 10.7О количестве решений системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными ✓ практика

п. 10.8Системы уравнений первой степени с тремя неизвестными ✓ практика

п. 10.9Решение задач при помощи систем уравнений первой степени ✓ практика

Дополнения

п. 1Линейные диофантовы уравнения ✓ практика

п. 2Метод Гаусса ✓ практика

п. 3Исторические сведения (Глава 3) · без практики

Глава 1Рациональные дроби9 тем · практика у всех

§ 1 · Рациональные дроби и их свойства

п. 1.1Рациональные выражения ✓ практика

п. 1.2Основное свойство дроби. Сокращение дробей ✓ практика

§ 2 · Сумма и разность дробей

п. 2.1Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями ✓ практика

п. 2.2Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями ✓ практика

§ 3 · Произведение и частное дробей

п. 3.1Умножение дробей. Возведение дроби в степень ✓ практика

п. 3.2Деление дробей ✓ практика

п. 3.3Преобразование рациональных выражений ✓ практика

п. 3.4Функция y = k/x и её график ✓ практика

п. 3.5Представление дроби в виде суммы дробей ✓ практика

Глава 2Квадратные корни10 тем · практика у всех

§ 4

п. 4.1Действительные числа ✓ практика

п. 4.2Квадратные корни. Арифметический квадратный корень ✓ практика

п. 4.3Уравнение x² = a ✓ практика

п. 4.4Нахождение приближённых значений квадратного корня ✓ практика

п. 4.5Функция y = √x и её график ✓ практика

§ 5

п. 5.1Квадратный корень из произведения и дроби ✓ практика

п. 5.2Квадратный корень из степени ✓ практика

§ 6

п. 6.1Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня ✓ практика

п. 6.2Преобразование выражений, содержащих квадратные корни ✓ практика

п. 6.3Преобразование двойных радикалов ✓ практика

Глава 3Уравнения и системы уравнений14 тем · практика у всех

§ 7

п. 7.1Неполные квадратные уравнения ✓ практика

п. 7.2Формула корней квадратного уравнения ✓ практика

п. 7.3Решение задач ✓ практика

п. 7.4Теорема Виета ✓ практика

§ 8

п. 8.1Квадратный трёхчлен и его корни ✓ практика

п. 8.2Разложение квадратного трёхчлена на множители ✓ практика

§ 9

п. 9.1Решение дробных рациональных уравнений ✓ практика

п. 9.2Решение задач ✓ практика

§ 10

п. 10.1Уравнение с двумя переменными и его график ✓ практика

п. 10.2Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными ✓ практика

п. 10.3Графический способ решения систем уравнений ✓ практика

п. 10.4Алгебраический способ решения систем уравнений ✓ практика

п. 10.5Решение задач с помощью систем уравнений ✓ практика

п. 10.6Уравнения с параметром ✓ практика

Глава 4Неравенства8 тем · практика у 7

§ 11

п. 11.1Числовые неравенства ✓ практика

п. 11.2Свойства числовых неравенств ✓ практика

п. 11.3Сложение и умножение числовых неравенств ✓ практика

§ 12

п. 12.1Пересечение и объединение множеств ✓ практика

п. 12.2Числовые промежутки ✓ практика

п. 12.3Решение неравенств с одной переменной ✓ практика

п. 12.4Решение систем неравенств с одной переменной ✓ практика

п. 12.5Доказательство неравенств · без практики

Глава 5Функции5 тем · практика у всех

§ 13

п. 13.1Функция. Область определения и множество значений функции ✓ практика

п. 13.2Свойства функции ✓ практика

§ 14

п. 14.1Свойства линейной функции ✓ практика

п. 14.2Свойства функций y = k/x и y = √x ✓ практика

п. 14.3Целая и дробная части числа ✓ практика

Глава 6Степень с целым показателем5 тем · практика у всех

§ 15

п. 15.1Определение степени с целым отрицательным показателем ✓ практика

п. 15.2Свойства степени с целым показателем ✓ практика

§ 16

п. 16.1Понятие стандартного вида числа ✓ практика

п. 16.2Решение задач с большими и малыми числами ✓ практика

п. 16.3Функции y = x⁻¹ и y = x⁻² и их свойства ✓ практика

Глава 1Неравенства6 тем · практика у всех

§ 1Числовые неравенства ✓ практика

§ 2Основные свойства числовых неравенств ✓ практика

§ 3Сложение и умножение числовых неравенств ✓ практика

§ 4Неравенства с одной переменной ✓ практика

§ 5Решение линейных неравенств с одной переменной. Числовые промежутки ✓ практика

§ 6Системы линейных неравенств с одной переменной ✓ практика

Глава 2Квадратичная функция7 тем · практика у всех

§ 7Повторение и расширение сведений о функции ✓ практика

§ 8Свойства функции ✓ практика

§ 9Построение графика функции y = kf(x) ✓ практика

§ 10Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x + a) ✓ практика

§ 11Квадратичная функция, её график и свойства ✓ практика

§ 12Решение квадратных неравенств ✓ практика

§ 13Системы уравнений с двумя переменными ✓ практика

Глава 3Элементы прикладной математики7 тем · практика у всех

§ 14Математическое моделирование ✓ практика

§ 15Процентные расчёты ✓ практика

§ 16Абсолютная и относительная погрешности ✓ практика

§ 17Основные правила комбинаторики ✓ практика

§ 18Частота и вероятность случайного события ✓ практика

§ 19Классическое определение вероятности ✓ практика

§ 20Начальные сведения о статистике ✓ практика

Глава 4Числовые последовательности6 тем · практика у всех

§ 21Числовые последовательности ✓ практика

§ 22Арифметическая прогрессия ✓ практика

§ 23Сумма n первых членов арифметической прогрессии ✓ практика

§ 24Геометрическая прогрессия ✓ практика

§ 25Сумма n первых членов геометрической прогрессии ✓ практика

§ 26Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1 ✓ практика

Глава 1Корни, степени, логарифмы49 тем · практика у всех

§ 1 · Действительные числа

п. 1.1Понятие действительного числа ✓ практика

п. 1.2Множества чисел. Свойства действительных чисел ✓ практика

п. 1.3Метод математической индукции ✓ практика

п. 1.4Перестановки ✓ практика

п. 1.5Размещения ✓ практика

п. 1.6Сочетания ✓ практика

п. 1.7Доказательство числовых неравенств ✓ практика

п. 1.8Делимость целых чисел ✓ практика

п. 1.9Сравнения по модулю m ✓ практика

п. 1.10Задачи с целочисленными неизвестными ✓ практика

§ 2 · Рациональные уравнения и неравенства

п. 2.1Рациональные выражения ✓ практика

п. 2.2Формулы бинома Ньютона, суммы и разности степеней ✓ практика

п. 2.3Деление многочленов с остатком. Алгоритм Евклида ✓ практика

п. 2.4Теорема Безу ✓ практика

п. 2.5Корень многочлена ✓ практика

п. 2.6Рациональные уравнения ✓ практика

п. 2.7Системы рациональных уравнений ✓ практика

п. 2.8Метод интервалов решения неравенств ✓ практика

п. 2.9Рациональные неравенства ✓ практика

п. 2.10Нестрогие неравенства ✓ практика

п. 2.11Системы рациональных неравенств ✓ практика

§ 3 · Корень степени n

п. 3.1Понятие функции и её графика ✓ практика

п. 3.2Функция y = xⁿ ✓ практика

п. 3.3Понятие корня степени n ✓ практика

п. 3.4Корни чётной и нечётной степеней ✓ практика

п. 3.5Арифметический корень ✓ практика

п. 3.6Свойства корней степени n ✓ практика

п. 3.7Функция y = ⁿ√x, x ≥ 0 ✓ практика

п. 3.8Функция y = ⁿ√x ✓ практика

п. 3.9Корень степени n из натурального числа ✓ практика

§ 4 · Степень положительного числа

п. 4.1Степень с рациональным показателем ✓ практика

п. 4.2Свойства степени с рациональным показателем ✓ практика

п. 4.3Понятие предела последовательности ✓ практика

п. 4.4Свойства пределов ✓ практика

п. 4.5Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ✓ практика

п. 4.6Число e ✓ практика

п. 4.7Понятие степени с иррациональным показателем ✓ практика

п. 4.8Показательная функция ✓ практика

§ 5 · Логарифмы

п. 5.1Понятие логарифма ✓ практика

п. 5.2Свойства логарифмов ✓ практика

п. 5.3Логарифмическая функция ✓ практика

п. 5.4Десятичные логарифмы ✓ практика

п. 5.5Степенные функции ✓ практика

§ 6 · Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

п. 6.1Простейшие показательные уравнения ✓ практика

п. 6.2Простейшие логарифмические уравнения ✓ практика

п. 6.3Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного ✓ практика

п. 6.4Простейшие показательные неравенства ✓ практика

п. 6.5Простейшие логарифмические неравенства ✓ практика

п. 6.6Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного ✓ практика

Глава 2Тригонометрические формулы. Тригонометрические функции34 темы · практика у всех

§ 7

п. 7.1Понятие угла ✓ практика

п. 7.2Радианная мера угла ✓ практика

п. 7.3Определение синуса и косинуса угла ✓ практика

п. 7.4Основные формулы для sin и cos ✓ практика

п. 7.5Арксинус ✓ практика

п. 7.6Арккосинус ✓ практика

п. 7.7Примеры использования арксинуса и арккосинуса ✓ практика

п. 7.8Формулы для арксинуса и арккосинуса ✓ практика

§ 8

п. 8.1Определение тангенса и котангенса угла ✓ практика

п. 8.2Основные формулы для tg и ctg ✓ практика

п. 8.3Арктангенс ✓ практика

п. 8.4Арккотангенс ✓ практика

п. 8.5Примеры использования арктангенса и арккотангенса ✓ практика

п. 8.6Формулы для арктангенса и арккотангенса ✓ практика

§ 9

п. 9.1Косинус разности и косинус суммы двух углов ✓ практика

п. 9.2Формулы для дополнительных углов ✓ практика

п. 9.3Синус суммы и синус разности двух углов ✓ практика

п. 9.4Сумма и разность синусов и косинусов ✓ практика

п. 9.5Формулы для двойных и половинных углов ✓ практика

п. 9.6Произведение синусов и косинусов ✓ практика

п. 9.7Формулы для тангенсов ✓ практика

§ 10

п. 10.1Функция y = sin x ✓ практика

п. 10.2Функция y = cos x ✓ практика

п. 10.3Функция y = tg x ✓ практика

п. 10.4Функция y = ctg x ✓ практика

§ 11

п. 11.1Простейшие тригонометрические уравнения ✓ практика

п. 11.2Уравнения, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного ✓ практика

п. 11.3Применение основных тригонометрических формул для решения уравнений ✓ практика

п. 11.4Однородные уравнения ✓ практика

п. 11.5Простейшие неравенства для синуса и косинуса ✓ практика

п. 11.6Простейшие неравенства для тангенса и котангенса ✓ практика

п. 11.7Неравенства, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного ✓ практика

п. 11.8Введение вспомогательного угла ✓ практика

п. 11.9Замена неизвестного t = sin x + cos x ✓ практика

Глава 3Элементы теории вероятностей7 тем · практика у всех

§ 12

п. 12.1Понятие вероятности события ✓ практика

п. 12.2Свойства вероятностей событий ✓ практика

§ 13

п. 13.1Относительная частота события ✓ практика

п. 13.2Условная вероятность. Независимые события ✓ практика

§ 14

п. 14.1Математическое ожидание ✓ практика

п. 14.2Сложный опыт ✓ практика

п. 14.3Формула Бернулли. Закон больших чисел ✓ практика

Глава 1Функции. Производные. Интегралы47 тем · практика у 46

§ 1 · Функции и их графики

п. 1.1Элементарные функции ✓ практика

п. 1.2Область определения и область изменения функции. Ограниченность функции ✓ практика

п. 1.3Чётность, нечётность, периодичность функций ✓ практика

п. 1.4Промежутки возрастания, убывания, знакопостоянства и нули функций ✓ практика

п. 1.5Исследование функций и построение их графиков элементарными методами · без практики

п. 1.6Основные способы преобразования графиков ✓ практика

п. 1.7Графики функций, содержащих модули ✓ практика

п. 1.8Графики сложных функций ✓ практика

§ 2 · Предел функции и непрерывность

п. 2.1Понятие предела функции ✓ практика

п. 2.2Односторонние пределы ✓ практика

п. 2.3Свойства пределов функций ✓ практика

п. 2.4Понятие непрерывности функции ✓ практика

п. 2.5Непрерывность элементарных функций ✓ практика

п. 2.6Разрывные функции ✓ практика

§ 3 · Обратные функции

п. 3.1Понятие обратной функции ✓ практика

п. 3.2Взаимно обратные функции ✓ практика

п. 3.3Обратные тригонометрические функции ✓ практика

п. 3.4Примеры использования обратных тригонометрических функций ✓ практика

§ 4 · Производная

п. 4.1Понятие производной ✓ практика

п. 4.2Производная суммы. Производная разности ✓ практика

п. 4.3Непрерывность функции, имеющей производную. Дифференциал ✓ практика

п. 4.4Производная произведения. Производная частного ✓ практика

п. 4.5Производные элементарных функций ✓ практика

п. 4.6Производная сложной функции ✓ практика

п. 4.7Производная обратной функции ✓ практика

§ 5 · Применение производной

п. 5.1Максимум и минимум функции ✓ практика

п. 5.2Уравнение касательной ✓ практика

п. 5.3Приближённые вычисления ✓ практика

п. 5.4Теоремы о среднем ✓ практика

п. 5.5Возрастание и убывание функции ✓ практика

п. 5.6Производные высших порядков ✓ практика

п. 5.7Выпуклость графика функции ✓ практика

п. 5.8Экстремум функции с единственной критической точкой ✓ практика

п. 5.9Задачи на максимум и минимум ✓ практика

п. 5.10Асимптоты. Дробно-линейная функция ✓ практика

п. 5.11Построение графиков функций с применением производных ✓ практика

п. 5.12Формула и ряд Тейлора ✓ практика

§ 6 · Первообразная и интеграл

п. 6.1Понятие первообразной ✓ практика

п. 6.2Замена переменной. Интегрирование по частям ✓ практика

п. 6.3Площадь криволинейной трапеции ✓ практика

п. 6.4Определённый интеграл ✓ практика

п. 6.5Приближённое вычисление определённого интеграла ✓ практика

п. 6.6Формула Ньютона — Лейбница ✓ практика

п. 6.7Свойства определённого интеграла ✓ практика

п. 6.8Применение определённых интегралов в геометрических и физических задачах ✓ практика

п. 6.9Понятие дифференциального уравнения ✓ практика

п. 6.10Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям ✓ практика

Глава 2Уравнения. Неравенства. Системы43 темы · практика у 41

§ 7

п. 7.1Равносильные преобразования уравнений ✓ практика

п. 7.2Равносильные преобразования неравенств ✓ практика

§ 8

п. 8.1Понятие уравнения-следствия ✓ практика

п. 8.2Возведение уравнения в чётную степень ✓ практика

п. 8.3Потенцирование логарифмических уравнений ✓ практика

п. 8.4Другие преобразования, приводящие к уравнению-следствию ✓ практика

п. 8.5Применение нескольких преобразований, приводящих к уравнению-следствию ✓ практика

§ 9

п. 9.1Равносильность уравнений и неравенств системам: основные понятия ✓ практика

п. 9.2Решение уравнений с помощью систем ✓ практика

п. 9.3Решение уравнений с помощью систем (продолжение) ✓ практика

п. 9.4Уравнения вида f(α(x)) = f(β(x)) ✓ практика

п. 9.5Решение неравенств с помощью систем ✓ практика

п. 9.6Решение неравенств с помощью систем (продолжение) ✓ практика

п. 9.7Неравенства вида f(α(x)) > f(β(x)) ✓ практика

§ 10

п. 10.1Равносильность уравнений на множествах. Основные понятия ✓ практика

п. 10.2Возведение уравнения в чётную степень (на множестве M) ✓ практика

п. 10.3Умножение уравнения на функцию ✓ практика

п. 10.4Другие преобразования уравнений ✓ практика

п. 10.5Применение нескольких преобразований уравнений ✓ практика

п. 10.6Уравнения с дополнительными условиями ✓ практика

§ 11

п. 11.1Равносильность неравенств на множествах. Основные понятия · без практики

п. 11.2Возведение неравенства в чётную степень ✓ практика

п. 11.3Умножение неравенства на функцию ✓ практика

п. 11.4Другие преобразования неравенств ✓ практика

п. 11.5Применение нескольких преобразований (неравенства) ✓ практика

п. 11.6Неравенства с дополнительными условиями ✓ практика

п. 11.7Нестрогие неравенства ✓ практика

§ 12

п. 12.1Уравнения с модулями ✓ практика

п. 12.2Неравенства с модулями ✓ практика

п. 12.3Метод интервалов для непрерывных функций ✓ практика

§ 13

п. 13.1Использование областей существования функций ✓ практика

п. 13.2Использование неотрицательности функций ✓ практика

п. 13.3Использование ограниченности функций ✓ практика

п. 13.4Использование монотонности и экстремумов функций ✓ практика

п. 13.5Использование свойств синуса и косинуса ✓ практика

§ 14

Равносильность систем ✓ практика

Система-следствие ✓ практика

Метод замены неизвестных ✓ практика

Рассуждения с числовыми значениями при решении систем уравнений · без практики

§ 15

п. 15.1Уравнения с параметром ✓ практика

п. 15.2Неравенства с параметром ✓ практика

п. 15.3Системы уравнений с параметром ✓ практика

п. 15.4Задачи с условиями ✓ практика

Глава 3Комплексные числа7 тем · практика у всех

§ 16

п. 16.1Алгебраическая форма комплексного числа ✓ практика

п. 16.2Сопряжённые комплексные числа ✓ практика

п. 16.3Геометрическая интерпретация комплексного числа ✓ практика

§ 17

п. 17.1Тригонометрическая форма комплексного числа ✓ практика

п. 17.2Корни из комплексных чисел и их свойства ✓ практика

§ 18

п. 18.1Корни многочленов ✓ практика

п. 18.2Показательная форма комплексного числа ✓ практика

Алгебра

§ 1 · Натуральные числа

§ 2 · Рациональные числа

§ 3 · Действительные числа

Дополнения

§ 4 · Одночлены

§ 5 · Многочлены

§ 6 · Формулы сокращённого умножения

§ 7 · Алгебраические дроби

§ 8 · Степень с целым показателем

§ 9 · Линейные уравнения с одним неизвестным

§ 10 · Системы линейных уравнений

Дополнения

§ 1 · Рациональные дроби и их свойства

§ 2 · Сумма и разность дробей

§ 3 · Произведение и частное дробей

§ 4

§ 5

§ 6

§ 7

§ 8

§ 9

§ 10

§ 11

§ 12

§ 13

§ 14

§ 15

§ 16

§ 1 · Действительные числа

§ 2 · Рациональные уравнения и неравенства

§ 3 · Корень степени n

§ 4 · Степень положительного числа

§ 5 · Логарифмы

§ 6 · Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

§ 7

§ 8

§ 9

§ 10

§ 11

§ 12

§ 13

§ 14

§ 1 · Функции и их графики

§ 2 · Предел функции и непрерывность

§ 3 · Обратные функции

§ 4 · Производная

§ 5 · Применение производной

§ 6 · Первообразная и интеграл

§ 7

§ 8

§ 9

§ 10

§ 11

§ 12

§ 13

§ 14

§ 15

§ 16

§ 17

§ 18