§5. Измерение углов — Геометрия 7-9 класс

9. Градусная мера угла

Измерение углов, как и измерение отрезков, основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус — угол, равный $\frac{1}{180}$ части развёрнутого угла. Эту единицу измерения углов ввели ещё до нашей эры.

Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой угла. Для измерения углов используют транспортир.

📐 ОбозначениеЕсли градусная мера угла AOB равна 150°, говорят кратко: «угол AOB равен 150°» — и пишут: $\angle AOB = 150°$.

Определённые части градуса носят специальные названия: $\frac{1}{60}$ часть градуса называется минутой, а $\frac{1}{60}$ часть минуты — секундой. Минуты обозначают знаком «′», секунды — знаком «″». Например, угол в 60 градусов, 32 минуты и 17 секунд записывают так: $60°32′17″$.

📐 Свойства градусной меры угла

Равные углы имеют равные градусные меры.
Меньший угол имеет меньшую градусную меру.
Если луч, выходящий из вершины угла, делит его на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих двух углов.

Например, если луч OCперетащи этот луч делит угол AOBсм. чертёж справа на углы AOCсиняя дуга и COBзелёная дуга, то выполняется равенство:

$\angle AOC + \angle COB = \angle AOB$

Так как градус составляет $\frac{1}{180}$ часть развёрнутого угла, он укладывается в развёрнутом угле ровно 180 раз, т. е. развёрнутый угол равен 180°. Неразвёрнутый угол меньше развёрнутого, поэтому неразвёрнутый угол всегда меньше 180°.

      💡
      Из жизниТранспортир устроен как половина циферблата со шкалой от 0°
      до 180°. Прикладывая его к вершине угла так, чтобы одна сторона совпала с нулевым
      делением, читаем градусную меру по второй стороне — точно так же архитекторы и
      строители размечают углы стен и крыш.
    

Виды углов по величине

Угол называется:

прямым, если он равен 90°;
острым, если он меньше 90°, т. е. меньше прямого угла;
тупым, если он больше 90°, но меньше 180°, т. е. больше прямого, но меньше развёрнутого угла.

Прямые углы часто встречаются вокруг нас: угол между стеной и потолком в комнате, угол между двумя смежными краями прямоугольного стола и т. д.

⚠️ Частая ошибкаПутают градусную меру угла с самим углом как геометрической фигурой. Два разных угла (с разными сторонами, в разных местах чертежа) вполне могут иметь одинаковую градусную меру — тогда говорят, что углы равны, но это не один и тот же угол.

10. Измерение углов на местности

На местности углы измеряют специальными приборами. Простейший из них — астролябия: диск, разделённый на градусы, и вращающаяся вокруг центра диска линейка (алидада). Чтобы измерить угол AOB, треножник с астролябией ставят так, чтобы отвес находился точно над вершиной O, затем направляют алидаду сначала вдоль одной стороны угла, потом вдоль другой и берут разность отсчётов по шкале диска — это и есть градусная мера угла.

Пример

Луч OEперетащи этот луч делит угол AOB на два угла. Найдите $\angle AOB$, если $\angle AOE = 44°$, $\angle EOB = 77°$.

Шаг 0 из 2

🧠 Запомни

Развёрнутый угол = 180°, прямой угол = 90°.
Острый угол < 90°, тупой угол — между 90° и 180°.
Если луч делит угол на два угла, то $\angle AOC + \angle COB = \angle AOB$.
1° = 60′ (минут), 1′ = 60″ (секунд).

← Глава I · §4 Измерение отрезков Все темы Глава I · §6 → Перпендикулярные прямые

Перетащи луч OC — транспортир снизу показывает шкалу в градусах

$\angle AOC + \angle COB = \angle AOB$ → 0 + 0 = 0