Обе теоремы этого параграфа отвечают на один и тот же вопрос: если на сторонах треугольника
$ABC$ (или их продолжениях) отметить три точки, то при каком условии они «согласованы» друг с
другом — либо лежат на одной прямой (Менелай), либо задают три прямые, пересекающиеся в одной
точке (Чева)? Ключевой инструмент для ответа — направленное (знаковое) отношение
точки, делящей отрезок.
Определение. Пусть точка $X$ лежит на прямой $AB$ и не совпадает ни с $A$, ни
с $B$. Число $t$, для которого $\overrightarrow{AX}=t\,\overrightarrow{XB}$, называют
направленным отношением, в котором $X$ делит отрезок $AB$. Если $X$ лежит
между $A$ и $B$, то $t>0$; если $X$ лежит на продолжении отрезка — вне
$[A,B]$ — то $t<0$.
💡 Из жизни: представь верёвку от столба $A$ до столба $B$. Если ты стоишь
где-то между ними — твоё «отношение» положительное. А если ты стоишь снаружи, за одним из
столбов, но по-прежнему на прямой, которую задаёт верёвка, — отношение становится
отрицательным. Знак — это и есть вся разница между «внутри» и «снаружи».
На вкладках три подвижные точки $C_1$ (на прямой $AB$), $A_1$ (на прямой $BC$) и
$B_1$ (на прямой $CA$) — каждую можно тянуть вдоль своей прямой, в том числе за пределы
стороны треугольника. Их направленные отношения обозначим
$p=\dfrac{\overrightarrow{AC_1}}{\overrightarrow{C_1B}}$,
$q=\dfrac{\overrightarrow{BA_1}}{\overrightarrow{A_1C}}$,
$r=\dfrac{\overrightarrow{CB_1}}{\overrightarrow{B_1A}}$.
Теорема Менелая
Теорема названа в честь Менелая Александрийского — древнегреческого
математика и астронома, жившего в I веке н.э.
Теорема Менелая. Пусть на сторонах или продолжениях сторон $AB$, $BC$, $CA$
треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$,
$A_1$,
$B_1$, не совпадающие с вершинами.
Тогда точки $C_1$, $A_1$, $B_1$ лежат на одной прямой тогда и только тогда,
когда $$pqr=-1.$$
1
(⇒) Пусть $C_1$, $A_1$, $B_1$ лежат на одной прямой. Введём систему координат $Oxy$ так,
чтобы эта прямая совпала с осью $Oy$. Пусть $a$, $b$, $c$ — абсциссы точек $A$, $B$, $C$.
2
Абсцисса точки $C_1$ равна $0$, поэтому из $\overrightarrow{AC_1}=p\,\overrightarrow{C_1B}$
получаем $0-a=p(b-0)$, то есть $a=-pb$. Аналогично из равенств для $A_1$ и $B_1$: $b=-qc$
и $c=-ra$.
3
Подставляя одно в другое: $a=-pb=pqc=-pqr\,a$, то есть $a(pqr+1)=0$. Если бы $a=0$, то и
$c=-ra=0$, и $b=-qc=0$ — все три вершины лежали бы на оси $Oy$, что невозможно (иначе весь
треугольник вырожден). Значит $pqr=-1$.
4
(⇐) Обратно, если $pqr=-1$, то аналогичным координатным рассуждением показывают, что
третья точка обязана иметь абсциссу $0$ — то есть лежать на прямой, проходящей через первые
две.
💡 Из жизни: представь треугольный участок земли и прямую дорогу, пересекающую
две его стороны и продолжение третьей. Теорема Менелая — это точная численная проверка того,
что дорога действительно прямая, а не «сломана» в одной из трёх точек пересечения. На вкладке
«Менелай» потяни любую из
точек $C_1$, $A_1$, $B_1$ — произведение $pqr$ меняется, и только когда оно равно $-1$, все три
точки оказываются на одной прямой.
Пример. Биссектрисы внешних углов треугольника $ABC$
пересекают продолжения противоположных сторон в трёх точках. По теореме Менелая эти три точки
всегда лежат на одной прямой — потому что произведение направленных отношений, задаваемых
внешними биссектрисами (через отношение соседних сторон, но с «отрицательным» знаком —
все три точки лежат снаружи), автоматически равно $-1$.
Теорема Чевы
Теорема названа в честь Джованни Чевы (1648–1734) — итальянского математика
и инженера. Здесь вопрос другой: не «лежат ли точки на одной прямой», а «пересекаются ли в одной
точке три прямые, идущие из вершин через эти точки» — то есть три чевианы
$AA_1$, $BB_1$, $CC_1$.
Теорема Чевы. Пусть на сторонах или продолжениях сторон $AB$, $BC$, $CA$
треугольника $ABC$ отмечены точки $C_1$, $A_1$, $B_1$, не совпадающие с вершинами. Тогда прямые
$AA_1$,
$BB_1$,
$CC_1$ пересекаются в одной точке
(или попарно параллельны) тогда и только тогда, когда
$$pqr=1.$$
1
(⇒) Пусть прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в точке $O$. Обозначим через
$S(L,M,N)$ площадь треугольника $LMN$, взятую со знаком «+», если обход вершин против часовой
стрелки, и «−» — иначе.
2
Треугольники $ABA_1$ и $AA_1C$ имеют общую высоту из вершины $A$, поэтому отношение их
площадей равно отношению оснований: $\dfrac{S(A,B,A_1)}{S(A,A_1,C)}=q$. Точно так же
$\dfrac{S(O,B,A_1)}{S(O,A_1,C)}=q$.
3
Из свойства пропорции (разность числителей к разности знаменателей) получаем
$q=\dfrac{S(A,B,O)}{S(A,O,C)}$. Аналогично $r=\dfrac{S(B,C,O)}{S(B,O,A)}$ и
$p=\dfrac{S(C,A,O)}{S(C,O,B)}$.
4
Перемножая три равенства и учитывая, что $S(A,B,O)=S(B,O,A)$,
$S(B,C,O)=S(C,O,B)$, $S(C,A,O)=S(A,O,C)$ (площадь не зависит от того, с какой вершины
начат обход), все шесть площадей в числителях и знаменателях попарно сокращаются, и остаётся
$pqr=1$.
5
(⇐) Обратно: если $pqr=1$ и какие-то две из прямых уже пересекаются в точке $O$, то
третья прямая, проходящая через вершину $C$ и точку пересечения $CO$ с $AB$, тоже удовлетворяет
такому же соотношению — а значит, задаёт ту же точку $C_1$. Случай трёх параллельных прямых
разбирается отдельно координатным способом.
💡 Из жизни: три чевианы — как три троса, натянутые от вершин треугольного
паруса к точкам на противоположных краях. Стянуть все три в одной точке получится, только если
пропорции, в которых выбраны точки крепления, «согласованы» — их произведение равно $1$. На
вкладке «Чева» потяни точки $A_1$, $B_1$,
$C_1$ по сторонам — если тросы не пересекаются в одной точке, вместо неё видны две разные точки
пересечения (красная метка).
Три классические точки. Теорема Чевы мгновенно объясняет, почему в любом
треугольнике всегда пересекаются в одной точке:
Медианы — все три точки делят стороны пополам, $p=q=r=1$, значит
$pqr=1$ всегда (точка пересечения — центроид);
Биссектрисы — по свойству биссектрисы каждое отношение равно отношению
прилежащих сторон ($p=\tfrac{b}{a}$, $q=\tfrac{c}{b}$, $r=\tfrac{a}{c}$), и при перемножении
стороны сокращаются: $pqr=\tfrac{b}{a}\cdot\tfrac{c}{b}\cdot\tfrac{a}{c}=1$ (точка — центр
вписанной окружности);
Высоты — произведение отношений, в которых основания высот делят стороны,
тоже тождественно равно $1$ (через $\cos$ прилежащих углов) — отсюда существование ортоцентра.
Кнопки на вкладке «Чева» выставляют все три конфигурации автоматически.
Итог
⚠️ Частая ошибка: использовать в обеих теоремах ненаправленные
(положительные) отношения длин — тогда обе теоремы дают на вид одинаковое условие «произведение
равно $1$», и легко перепутать, какая теорема о чём. На самом деле знак принципиален: у
Менелая секущая прямая либо пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей (две точки
внутри своих сторон, одна — на продолжении), либо проходит по продолжениям всех трёх сторон (все
три — снаружи) — в обоих случаях число отрицательных множителей нечётно, и в итоге $pqr=-1$. У Чевы,
наоборот, чётное число точек снаружи (обычно ни одной — все три чевианы бьют прямо по сторонам),
поэтому $pqr=+1$.
🧠 Запомни: • Менелай (секущая прямая): $C_1$, $A_1$, $B_1$ коллинеарны $\iff pqr=-1$.
• Чева (три чевианы из вершин): $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в одной
точке (или параллельны) $\iff pqr=+1$.
• Отношения $p,q,r$ всегда направленные: знак «$+$» — точка внутри стороны, «$-$» — на
продолжении.
• Медианы, биссектрисы и высоты — три готовых примера теоремы Чевы: для каждой тройки
$pqr=1$ проверяется напрямую.
Закрепи в практике
2 тренажёра по этому параграфу. Каждый вариант — с новыми
числами; разбор после каждого ответа.