Решение треугольников

Теорема о медиане

Решением треугольника называют нахождение его элементов (сторон, углов, медиан, биссектрис, площади...) по каким-то трём данным, однозначно определяющим треугольник. Обычно для этого используют теоремы синусов и косинусов. Вот характерный пример: зная только три стороны треугольника, можно найти длину любой его медианы — без транспортира и без построения самого чертежа.

Теорема. Квадрат медианы $AM$ треугольника $ABC$ выражается формулой $$AM^2=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}.$$

💡 Из жизни: представь, что ты знаешь расстояния между тремя точками на карте — своим
домом $A$ и двумя магазинами $B$ и $C$ — но не можешь напрямую замерить расстояние до точки ровно
посередине между магазинами. Формула медианы позволяет вычислить это расстояние, вообще не выходя из
дома, только по трём известным сторонам. На вкладке 
«Медиана» потяни любую вершину — и убедись, что измеренная длина $AM$ всегда совпадает с
вычисленной по формуле.

Следствие. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон: $AC^2+BD^2=AB^2+CD^2+AD^2+BC^2$. Это сразу следует из теоремы: диагонали параллелограмма точкой пересечения $O$ делятся пополам, поэтому $AO$ — медиана треугольника $ABD$, и $AC^2=4AO^2=2AB^2+2AD^2-BD^2$.

Теорема о биссектрисе треугольника

Теорема. Биссектриса $AD$ треугольника $ABC$ делит противоположную сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам: $$\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}.$$

💡 Из жизни: представь треугольный земельный участок $ABC$. Тропинка из вершины $A$ должна
разделить противоположную границу $BC$ не пополам (как медиана), а «по справедливости» — пропорционально
длинам двух соседних границ $AB$ и $AC$. Именно такую тропинку и прокладывает биссектриса угла.

Следствие. В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$ и биссектрисой $AD$: $$DB=\frac{ac}{b+c},\qquad DC=\frac{ab}{b+c}.\quad(1)$$ Это получается из теоремы и равенства $DB+DC=a$ решением системы двух линейных уравнений.

Задача. Выразить длину биссектрисы $AD$ через стороны $AB=c$, $AC=b$ и угол $A$. Применяя теорему косинусов к треугольникам $ABD$ и $ACD$ и формулы (1), после преобразований получаем: $$AD=\frac{2bc\cos\frac{A\mkern-2mu}{2}}{b+c}.\quad(2)$$ А если исключить $\cos\frac{A\mkern-2mu}{2}$ из формулы (2), получается изящная связь биссектрисы со сторонами и отрезками, на которые она делит противоположную сторону: $AD^2=AB\cdot AC-DB\cdot DC$.

Формулы площади треугольника

Площадь одного и того же треугольника можно вычислить несколькими разными способами — и все они, разумеется, дают одно и то же число. Вот главные формулы.

Теорема 1. Площадь $S$ треугольника выражается формулой $$S=pr,$$ где $p$ — полупериметр треугольника, $r$ — радиус вписанной в него окружности.
Доказательство. Соединим вершины треугольника с центром вписанной окружности. Треугольник разделится на три треугольника, площадь каждого равна половине произведения соответствующей стороны на $r$. Складывая площади и вынося $\dfrac{r}{2}$ за скобки: $S=\dfrac{r}{2}(a+b+c)=pr$.

Теорема 2 (уточнение теоремы синусов). В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=c$, $BC=a$, $CA=b$: $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R,$$ где $R$ — радиус описанной окружности.
Идея доказательства: проведём диаметр $BD$. Треугольник $DBC$ прямоугольный (опирается на диаметр), и $\angle D=\angle A$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $BC$. Тогда $a=BC=BD\sin A=2R\sin A$.

Следствие 1. $S=\dfrac{abc}{4R}$ — подставляя $\sin A=\dfrac{a}{2R}$ в известную формулу $S=\dfrac12 bc\sin A$ (площадь через две стороны и угол между ними).

Следствие 2. $S=2R^2\sin A\sin B\sin C$ — прямое следствие теоремы 2 и формулы (6).

💡 Из жизни: представь трёх землемеров, каждый со своим инструментом — один меряет
основание и высоту рулеткой, второй использует теодолит для угла между двумя сторонами, третий вообще
не может подойти к участку и знает только длины всех трёх границ. Все трое честно посчитают одну и ту же
площадь, просто разными формулами. Вкладка 
«Площадь» справа считает их все одновременно на одном и том же треугольнике.

Формула Герона

Формула Герона. Площадь $S$ треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ выражается формулой $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\qquad p=\frac{a+b+c}{2}.$$

Идея вывода: из формулы $S=\dfrac12 bc\sin A$ достаточно найти $\sin A$. По теореме косинусов $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, а из тождества $\sin^2A+\cos^2A=1$ следует $\sin A=\dfrac{1}{2bc}\sqrt{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2}$. Подкоренное выражение раскладывается на множители: $$4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2=(a+b+c)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)=16\,p(p-a)(p-b)(p-c).$$ Подставляя это в формулу для $S$, приходим к формуле Герона.

⚠️ Частая ошибка: путать биссектрису с медианой и думать, что она тоже делит противоположную сторону пополам. Это верно только для равнобедренного треугольника (когда $AB=AC$, то есть $b=c$) — тогда по формуле (1) действительно $DB=DC=\dfrac{a}{2}$. В общем случае разностороннего треугольника биссектриса делит сторону в отношении $AB:AC$, а вовсе не пополам.

🧠 Полезный факт. Зная формулу Герона и связи $h_a=\dfrac{2S}{a}$, $R=\dfrac{abc}{4S}$, $r=\dfrac{S\mkern-2mu}{p}$ — можно выразить любую высоту, а также радиусы вписанной и описанной окружностей только через три стороны треугольника, вообще не находя его углов.

Задача Эйлера

Одна из красивейших задач геометрии связывает четыре «замечательные» точки произвольного треугольника в единую картину. Нам понадобится понятие центрального подобия (гомотетии): это отображение плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M_1$, что $\overrightarrow{OM_1}=k\overrightarrow{OM}$ для фиксированного центра $O$ и коэффициента $k\ne0$. При гомотетии отрезок переходит в параллельный ему отрезок в $|k|$ раз длиннее (или короче), а треугольник — в подобный ему треугольник.

Задача Эйлера. В произвольном треугольнике $ABC$ пусть $G$ — точка пересечения медиан, $O$ — центр описанной окружности, $H$ — точка пересечения высот (ортоцентр). Тогда точки $O$, $G$, $H$ лежат на одной прямой (прямой Эйлера), причём $$OG:GH=1:2,$$ считая от центра описанной окружности. Кроме того (доказывается тем же построением): середины сторон, основания высот и середины отрезков от $H$ до вершин лежат на одной окружности радиуса $\dfrac{R\mkern-2mu}{2}$ с центром в середине отрезка $OH$ — она называется окружностью Эйлера.

Идея доказательства (пункт с прямой Эйлера): рассмотрим гомотетию с центром $G$ и коэффициентом $-\dfrac12$. Медианы делятся точкой $G$ в отношении $1:2$, поэтому вершины $A$, $B$, $C$ переходят в середины противоположных сторон, а прямые, содержащие высоты, переходят в серединные перпендикуляры к сторонам. Значит точка $H$ переходит в точку $O$ — то есть $G$ лежит на отрезке $OH$ и делит его в отношении $1:2$, считая от $O$.

💡 Из жизни: как будто у любого треугольника есть скрытая ось, невидимая линия, на
которой всегда выстраиваются в ряд три его самые важные «центра» — центр тяжести (если вырезать
треугольник из картона и положить на палец), центр окружности вокруг вершин и точка пересечения высот.
Эйлер открыл, что они не просто на одной прямой, а ещё и делят расстояние между собой в строго фиксированной
пропорции $1:2$. На вкладке «Прямая Эйлера»
потяни вершины — и убедись, что все три точки остаются на одной прямой при любой форме треугольника.

🧠 Запомни:
• Медиана: $AM^2=\dfrac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}$.
• Биссектриса: $\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$, а не $1$ (в отличие от медианы).
• Площадь: $S=pr=\dfrac{abc}{4R}=\dfrac12 ab\sin C=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.
• Прямая Эйлера: точки $O$ (центр описанной окружности), $G$ (точка пересечения медиан) и $H$ (ортоцентр) лежат на одной прямой, $OG:GH=1:2$.