Преобразования плоскости. Равные фигуры

От рисунка — к точному определению

В прошлой теме мы узнавали симметрию «на глаз» — по перегибанию, вырезанию. Но математический язык не знает слов «перегнуть» или «вырезать». Чтобы дать точное определение, нужно найти характеристическое свойство точек в каждом виде симметрии.

Точное определение осевой симметрии

Перегибая лист по прямой $l$, замечаем: отрезок $AA_1$ перпендикулярен прямой $l$, и точка пересечения делит его пополам.

Определение. Точки $A$ и $A_1$, не принадлежащие прямой $l$, называются симметричными относительно $l$, если отрезок $AA_1$ перпендикулярен этой прямой и делится ею пополам.

Потяни точку $A$ справа — отрезок $AA_1$ всегда пересекает $l$ под прямым углом ровно в своей середине.

Поворот и параллельный перенос — точно

Точка $A_1$ называется результатом поворота точки $A$ вокруг центра $O$ на угол $\alpha$, если $OA = OA_1$ и $\angle AOA_1 = \alpha$. Центральная симметрия — частный случай поворота при $\alpha = 180°$.

Точка $A_1$ называется результатом параллельного переноса точки $A$ на вектор $d$, если вектор $AA_1$ равен вектору $d$.

Равные фигуры

Главная польза точных определений — все три преобразования обладают общим свойством: получившиеся фигуры можно совместить наложением, то есть они равны. Значит, чтобы доказать равенство фигур, достаточно показать, что одна получена из другой этими преобразованиями.

        💡 Пример. В равнобедренном треугольнике $ABC$
        медиана $BD$, проведённая к основанию, является осью симметрии.
        Тогда треугольники $ABD$ и $CBD$ равны — и поэтому
        $AD = DC$, $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4 = 90°$.
      

⚠️ Частая ошибка. Свойство «медиана = биссектриса = высота» верно только для медианы, проведённой к основанию равнобедренного треугольника. Для произвольного треугольника (и даже для медиан к боковым сторонам равнобедренного) это, как правило, три разных отрезка.

🧠 Запомни: $A, A_1$ симметричны относительно $l$ ⇔ $AA_1 \perp l$ и делится пополам; поворот сохраняет $OA=OA_1$ и угол $\alpha$; перенос — вектор $AA_1 = d$; все три преобразования дают равные фигуры.

← Глава 4, §4 · п.1 Красота и симметрия Все темы Глава 4, §4 · п.3 → Правильные многоугольники

Потяни точку A — отрезок AA₁ всегда перпендикулярен l и делится ею пополам.