6 класс · Геометрия

Правильные многоугольники

Что такое правильный многоугольник

Определение. Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.

Равносторонний треугольник и квадрат нам уже знакомы — это простейшие правильные многоугольники. Оказывается, вершины любого правильного многоугольника лежат на одной окружности — описанной.

Как построить правильный $n$-угольник

Чтобы построить правильный $n$-угольник, достаточно разделить окружность на $n$ равных частей и соединить точки деления по порядку. Тогда при повороте вокруг центра окружности на угол, кратный $\tfrac{360°}{n}$, многоугольник переходит сам в себя — значит, все его стороны и углы равны.

          💡 Правильный шестиугольник строится проще всех: он состоит из
          шести правильных треугольников, поэтому сторона шестиугольника
          равна радиусу описанной окружности — циркулем «шагают» по
          окружности с раствором, равным радиусу.
        

Подвинь ползунок справа — число сторон $n$ меняется от 3 до 12, и многоугольник перестраивается на глазах.

Угол правильного многоугольника и паркеты

$$\alpha = \frac{180°(n-2)}{n}$$

Правильные многоугольники используют для паркетов — покрытия плоскости без зазоров и наложений. Фигуры сходятся в вершине паркета, только если сумма их углов равна $360°$ — поэтому в треугольном паркете в вершине сходится 6 фигур, в квадратном — 4, а в шестиугольном (как в пчелиных сотах) — 3.

⚠️ Частая ошибка. Не всякий правильный многоугольник можно построить циркулем и линейкой — например, правильный семиугольник или девятиугольник построить точно нельзя. Это доказал математик К. Гаусс.

🧠 Запомни: у правильного $n$-угольника все стороны и углы равны, все вершины лежат на одной окружности; угол при вершине $\alpha = \tfrac{180°(n-2)}{n}$; паркет из одинаковых правильных многоугольников возможен только для треугольника, квадрата и шестиугольника.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике