Определение.Правильный многоугольник —
выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все углы равны.
Равносторонний треугольник и квадрат нам уже знакомы — это простейшие
правильные многоугольники. Оказывается, вершины любого
правильного многоугольника лежат на одной окружности —
описанной.
Как построить правильный n-угольник
Чтобы построить правильный $n$-угольник, достаточно разделить
окружность на $n$ равных частей и соединить точки деления по
порядку. Тогда при повороте вокруг центра окружности на угол,
кратный $\tfrac{360°}{n}$, многоугольник переходит сам в себя —
значит, все его стороны и углы равны.
💡 Правильный шестиугольник строится проще всех: он состоит из
шести правильных треугольников, поэтому сторона шестиугольника
равна радиусу описанной окружности — циркулем «шагают» по
окружности с раствором, равным радиусу.
Подвинь ползунок справа — число сторон $n$ меняется от 3 до 12,
и многоугольник перестраивается на глазах.
Угол правильного многоугольника и паркеты
$$\alpha = \frac{180°(n-2)}{n}$$
Правильные многоугольники используют для паркетов —
покрытия плоскости без зазоров и наложений. Фигуры сходятся
в вершине паркета, только если сумма их углов равна $360°$ —
поэтому в треугольном паркете в вершине сходится 6 фигур,
в квадратном — 4, а в шестиугольном (как в пчелиных сотах) — 3.
⚠️ Частая ошибка. Не всякий правильный
многоугольник можно построить циркулем и линейкой — например,
правильный семиугольник или девятиугольник построить точно
нельзя. Это доказал математик К. Гаусс.
🧠 Запомни: у правильного $n$-угольника все стороны
и углы равны, все вершины лежат на одной окружности; угол при
вершине $\alpha = \tfrac{180°(n-2)}{n}$; паркет из одинаковых
правильных многоугольников возможен только для треугольника,
квадрата и шестиугольника.