Математика · 5 класс · Глава 1

Введение обозначений

Зачем в математике вводят обозначения

Мы уже знаем, что общее утверждение на бесконечном множестве нельзя доказать перебором — проверок понадобилось бы бесконечно много. Но выход есть: если нужно доказать, что все элементы множества обладают каким-то свойством, можно взять произвольный (то есть любой, не какой-то конкретный) элемент этого множества и дать ему имя — обозначить его буквой.

Это похоже на то, как в жизни людям дают имена, чтобы говорить о них, не показывая пальцем. В математике для той же цели используют буквы. После того как элементу присвоено имя, его можно называть и записывать в выражениях, формулах, равенствах и неравенствах — а то, что доказано для этого «безымянного» элемента с условным именем, оказывается верным сразу для всех элементов множества, потому что элемент был взят произвольно.

Приём доказательства через переменную. Чтобы доказать общее утверждение о всех элементах множества, берут произвольный элемент, обозначают его буквой и доказывают утверждение именно для него — не используя никаких его особых свойств. Тогда доказательство годится для любого элемента множества.
💡 Из жизни: представь бейджик «Здравствуйте, меня зовут…» с пустой строкой на собрании гостей. Пока имя не вписано, бейджик подходит любому гостю. Буква n в математике — такой же «пустой бейджик»: пока мы не знаем, какое именно число он обозначает, всё доказанное для n годится для любого числа, которое мы под этим именем подразумеваем.

При введении обозначений в математике есть свои традиции. Неизвестные числа в текстовых задачах чаще всего обозначают буквами $x$ и $y$; в задачах на движение путь, скорость и время — буквами $s$, $v$, $t$; площадь фигуры — буквой $S$, периметр — буквой $P$, объём — буквой $V$.

Задача 1. Сумма трёх последовательных чисел

Докажем, что сумма любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 3. Возьмём произвольное натуральное число и обозначим его буквой $n$. Тогда два следующих за ним числа равны $n+1$ и $n+2$ — и нужно доказать, что число $n+(n+1)+(n+2)$ делится на 3.

1
Обозначаем первое число буквой $n$, тогда следующие два числа — это $n+1$ и $n+2$.
2
Раскрываем сумму, используя переместительное и сочетательное свойства сложения: $n+(n+1)+(n+2) = n+n+1+n+2 = 3n+3$.
3
По распределительному свойству $3n+3 = 3\cdot n + 3\cdot 1 = 3(n+1)$. Значит, $n+(n+1)+(n+2)=3(n+1)$ — сумма делится на 3, что и требовалось доказать.

Попробуй справа: кнопка подставляет разные значения $n$ и проверяет, что сумма всегда делится на 3 — но помни, что ни одна проверка отдельных чисел не заменяет доказательство выше, ведь чисел бесконечно много.

Задача 2. Частное не меняется при одинаковом увеличении

Докажем, что частное двух натуральных чисел не изменится, если каждое из них увеличить в одно и то же число раз (при делении без остатка). Здесь у нас четыре «персонажа» — введём четыре обозначения: делимое — буквой $a$, делитель — буквой $b$, частное — буквой $k$, число, на которое всё умножаем — буквой $c$.

1
Так как $a:b=k$, выполняется равенство $a=bk$.
2
Умножим обе части на $c$: $ac=(bk)c$. По переместительному и сочетательному свойствам умножения: $ac=(bk)c=b(kc)=b(ck)=(bc)k$.
3
Равенство $ac=(bc)k$ означает, что $(ac):(bc)=k$ — то есть при умножении делимого и делителя на одно и то же число $c$ частное $k$ не меняется, что и требовалось доказать.

Чётные и нечётные числа общей записью

Буквенные обозначения удобны и для описания целых классов чисел. Любое чётное число можно записать в виде $2k$, а любое нечётное — в виде $2k+1$, где $k$ — произвольное целое неотрицательное число. Эта запись сама по себе уже доказательство: число $2k$ делится на 2 при любом $k$, а число $2k+1$ при делении на 2 всегда даёт остаток 1.

Общая запись чётных и нечётных чисел. Чётное число: $2k$. Нечётное число: $2k+1$ (эквивалентно $2k-1$), где $k = 0, 1, 2, 3, \ldots$ — любое натуральное число или нуль.

Например, чтобы доказать, что сумма чётного и нечётного числа всегда нечётна, обозначим их $2k$ и $2m+1$ (разными буквами — ведь это, вообще говоря, разные числа) и сложим: $2k+(2m+1) = 2(k+m)+1$ — это снова число вида «удвоенное плюс один», то есть нечётное.

Координатный луч

Обозначения помогают описывать не только числа, но и положение точек на прямой. Возьмём луч, отметим на нём начальную точку (число 0) и выберем удобную «цену деления» — единичный отрезок. Тогда каждой точке луча соответствует ровно одно число — её координата, а каждому числу — ровно одна точка.

Координатный луч. Луч с отмеченным началом отсчёта (точкой $0$) и выбранной ценой деления, на котором каждой точке ставится в соответствие число — её координата. Записывают: $M(x)$ — «точка $M$ с координатой $x$».

Если точка движется по координатному лучу с постоянной скоростью $v$, выйдя из точки с координатой $x_0$, то её координата в момент времени $t$ вычисляется по формуле $x = x_0 + vt$. Так задачи на движение записываются на «математическом языке» одной короткой формулой.

Координатный угол

Чтобы обозначить положение точки не на прямой, а на плоскости, используют координатный угол (координатную плоскость) — две взаимно перпендикулярные координатные прямые (оси) с общим началом отсчёта. Горизонтальную ось называют осью $x$, вертикальную — осью $y$.

Координатный угол. Положение точки на плоскости задаётся парой чисел $(x;\,y)$ — координатами точки. Первое число $x$ показывает смещение вдоль горизонтальной оси, второе число $y$ — вдоль вертикальной. Порядок чисел в записи важен: точки $(3;\,5)$ и $(5;\,3)$ — это разные точки.
⚠️ Частая ошибка: перепутать порядок координат и записать сначала вертикальное смещение, а потом горизонтальное — например, вместо точки $(3;\,5)$ отметить точку $(5;\,3)$. В координатном угле, как и в записи $(x;\,y)$, порядок всегда: сначала $x$ (вправо/влево), потом $y$ (вверх/вниз).

График движения

Ещё один способ «говорить на математическом языке» о движении — график движения: по горизонтальной оси откладывают время $t$, по вертикальной — пройденный путь (или расстояние до какого-то пункта) $s$. Каждому моменту времени соответствует точка графика с координатами $(t;\,s)$.

  • Наклонный отрезок графика — движение с постоянной скоростью (чем круче наклон, тем больше скорость).
  • Горизонтальный участок графика — остановка (путь не меняется, а время идёт).
  • Точка пересечения графиков двух объектов — момент и место их встречи.
💡 Из жизни: график движения — это как показания фитнес-браслета, которые записывают пройденное расстояние каждую минуту. По такому графику, не расспрашивая человека отдельно, сразу видно, когда он шёл быстро, когда медленно, а когда просто стоял на месте.
🧠 Запомни:
  • Чтобы доказать общее утверждение, берут произвольный элемент множества, дают ему имя-букву и доказывают утверждение именно для него, не используя его особых свойств.
  • Чётное число — это $2k$, нечётное — это $2k+1$, где $k$ — любое натуральное число или нуль.
  • Координата точки на координатном луче — одно число $x$; координаты точки на координатном угле — пара чисел $(x;\,y)$ в строгом порядке: сначала $x$, потом $y$.
  • На графике движения наклон отрезка — это скорость, горизонтальный участок — остановка.
← Глава 1 · §3, п.4 О доказательстве общих утверждений Все темы Глава 2 · §1, п.1 → Делители и кратные

Задача 1: сумма трёх последовательных чисел $n,\ n{+}1,\ n{+}2$ всегда делится на 3

Нажми «Взять следующее n»

Перетащи точку $M$ по координатному лучу — её координата читается снизу

M(0)

Движение по формуле $x = x_0 + vt$: точка выходит из $x_0{=}2$ со скоростью $v{=}3$

Выбери момент времени t

Перетащи точку $A$ по координатному углу — её координаты $(x;\,y)$ читаются снизу

A(0;\,0)
Наведи курсор на подчёркнутые слова в тексте слева — интерактив сам переключится