Делители и кратные — Математика, 5 класс

От «разложить поровну» к делимости

Мы знаем, что, например, число 27 делится на 3. Но почему это утверждение верно? Раньше мы отвечали так: 27 предметов можно разложить на 3 равные группы по 9 предметов в каждой, и ничего не останется. Иначе говоря, для проверки нужно указать «второй сомножитель» — такое число, которое при умножении на 3 даёт 27. Действительно, $9 \cdot 3 = 27$.

А вот 27 не делится на 4 — потому что не получается подобрать такое число $c$, чтобы выполнялось равенство $4c = 27$: при $c=6$ произведение $4 \cdot 6 = 24$ меньше 27, а при $c=7$ произведение $4 \cdot 7 = 28$ уже больше 27. Ни одно целое $c$ не подходит.

        💡 Из жизни: представь, что нужно рассадить 27 гостей за одинаковые столы. Столы по
        3 человека — гостей хватает ровно, никто не остаётся стоять. А столы по 4 человека — за последним
        столом окажется всего 3 человека, места пустуют. Опробуй оба варианта справа во
        вкладке «$a=bc$».
      

Определение делителя и кратного

Число $a$ делится на число $b$, если существует такое число $c$, что выполняется равенство $a = bc$. При этом число $c$ называют частным от деления $a$ на $b$, число $a$ — кратным числа $b$, а число $b$ — делителем числа $a$.

Например, каждое из чисел 7, 11 и 13 является делителем числа 1001 — в этом можно убедиться, разделив 1001 «столбиком» на каждое из них: $1001 = 7 \cdot 143 = 11 \cdot 91 = 13 \cdot 77$. В то же время 1001 — кратное каждого из этих чисел.

Загляни во вкладку «$a=bc$» справа: там можно выбирать число $a$ и делитель $b$ и сразу видеть, делится ли $a$ на $b$ без остатка.

Как найти все делители числа

Чтобы найти все делители числа $n$, можно перебирать числа $1, 2, 3, \ldots$ по порядку и проверять, делится ли на них $n$ без остатка. Перебор можно сократить вдвое, если заметить, что делители всегда разбиваются на пары: если $b$ — делитель числа $n$, то и $c = n : b$ тоже делитель числа $n$, причём $b \cdot c = n$. Например, у числа 12 делители 2 и 6 — пара ($2 \cdot 6 = 12$), а делители 3 и 4 — тоже пара ($3 \cdot 4 = 12$).

Проверяем по порядку числа $1, 2, 3, \ldots$ — делится ли на них $n$ без остатка.

Как только нашли делитель $b$, сразу записываем и его пару $c = n : b$ — она тоже делитель.

Перебор можно остановить, как только $b$ и его пара $c$ «встретятся» — дальше делители уже не новые, а повторяют найденные пары в обратном порядке.

Попробуй сам во вкладке «Делители $D(n)$» — числа-делители появляются парами одного цвета.

Множества $D(n)$ и $K(n)$

Все делители числа $n$ образуют множество делителей, которое обозначают $D(n)$. Все кратные числа $n$ образуют множество кратных $K(n)$ — оно бесконечно, потому что кратных у любого числа бесконечно много.

Например: $D(10) = \{1, 2, 5, 10\}$ — 4 делителя. А $K(9) = \{9, 18, 27, 36, \ldots\}$ — кратные числа 9 идут через равные промежутки на числовом луче.

У самого маленького числа $n$ всегда есть хотя бы один делитель — само число 1 (единица — делитель любого числа), и делитель $n$ — само число $n$. Значит, у любого числа не меньше двух делителей, если только это не число 1: у единицы всего один делитель — она сама.

Общие делители и общие кратные. НОД и НОК

Если сравнить множества делителей двух чисел, можно найти их общие делители — те числа, которые входят и в $D(n)$, и в $D(k)$ одновременно. Самый большой из общих делителей называют наибольшим общим делителем и обозначают $\text{НОД}$.

Точно так же общие числа во множествах $K(n)$ и $K(k)$ называют общими кратными, а самое маленькое из них — наименьшим общим кратным, $\text{НОК}$.

Например: $\text{НОД}(7,\,16,\,25) = 1$ — у этих чисел нет общих делителей, кроме единицы. А $\text{НОК}(9,\,12,\,18) = 36$ — самое маленькое число, которое кратно и 9, и 12, и 18 одновременно.

Найти НОД и НОК проще всего перебором — точно так же, как перебирали делители: выписываем делители (или кратные) каждого числа и ищем, что у них общее. Попробуй во вкладке «Кратные и НОК».

⚠️ Частая ошибка: перепутать, кто на кого делится. Если $a = bc$, то $b$ и $c$ — делители $a$, а $a$ — кратное для $b$ и для $c$, а не наоборот. Например, верно сказать «24 — делитель 72» (72 делится на 24 без остатка), но неверно сказать «15 — делитель 3» — на самом деле здесь всё наоборот: 3 делит 15, значит 3 — делитель 15, а 15 — кратное 3. Делитель числа никогда не бывает больше самого числа (кроме случая, когда делитель равен самому числу).

🧠 Запомни:

$a$ делится на $b$, если найдётся такое $c$, что $a = bc$; тогда $b$ и $c$ — делители $a$, а $a$ — кратное $b$ и кратное $c$.
Единица — делитель любого числа; само число — делитель и кратное самого себя.
Делители числа $n$ образуют конечное множество $D(n)$ и разбиваются на пары $b$ и $n:b$; кратные образуют бесконечное множество $K(n)$.
$\text{НОД}$ — наибольший из общих делителей, $\text{НОК}$ — наименьшее из общих кратных; оба находят перебором.

← Глава 1 · §3, п.5 Введение обозначений Все темы Глава 2 · §1, п.2 → Простые и составные числа

Выбери число $a$ и делитель $b$ — точки сами разложатся в $b$ рядов

a = 27, b = 3

Все делители числа $n$ — они всегда разбиваются на пары одного цвета

D(12)

Кратные числа $a$ — синим снизу, кратные числа $b$ — зелёным сверху; общие отмечены золотым кольцом

НОК(4, 6) = 12

Наведи курсор на подчёркнутые слова в тексте слева — интерактив сам переключится