5 класс · Делимость натуральных чисел

Делимость произведения

Зачем угадывать, если можно доказать

Раньше, чтобы узнать, делится ли число на 3, мы делили его «в столбик». А теперь представь задачу: делится ли произведение $6851 \cdot 999$ на 3? Перемножать такие большие числа совсем не хочется. И не придётся! Оказывается, 999 сам делится на 3: $999 = 3 \cdot 333$. Тогда

💡 $6851 \cdot 999 = 6851 \cdot (3 \cdot 333) = 3 \cdot (6851 \cdot 333)$ — произведение уже записано как утроенное число, значит, оно делится на 3. И частное сразу видно: это $6851 \cdot 333$, его даже вычислять не нужно!

Этот приём — не везение, а общее правило, которое работает для любых чисел. Проверь его на других числах в блоке «Свойство 1» справа.

Свойство 1: делимости произведения

Если хотя бы одно из двух чисел делится на некоторое число, то и произведение этих чисел делится на это число.

Докажем это «по всем правилам» — не на конкретных числах, а буквами, чтобы правило работало всегда. В свойстве участвуют три «персонажа»: два числа-сомножителя $a$ и $b$, и третье число $c$, на которое проверяем делимость. Пусть, для определённости, на $c$ делится число $b$.

1
$b$ делится на $c$ — значит, есть такое число $k$, что $b = c\cdot k$.
2
Подставим это в произведение: $ab = a\cdot(c\cdot k)$.
3
По сочетательному свойству умножения переставим множители: $a\cdot(c\cdot k) = c\cdot(a\cdot k)$.
4
Значит, $ab = c\cdot(a\cdot k)$ — произведение $ab$ делится на $c$, а в частном получается число $a\cdot k$.

Свойство 2: цепочка делимости

Если первое число делится на второе, а второе число делится на третье, то и первое число делится на третье.

Обозначим числа буквами $a$, $b$ и $c$. По условию $a$ делится на $b$, то есть $a = b\cdot n$ для некоторого числа $n$. Но в этом произведении множитель $b$ сам делится на $c$ — а мы только что доказали Свойство 1: если один из множителей делится на $c$, то и всё произведение делится на $c$. Значит, на $c$ делится и число $a$ — что и требовалось доказать.

Проследи всю цепочку рассуждения шаг за шагом в блоке «Свойство 2» справа.

Как этим пользоваться

Оба свойства позволяют проверять делимость произведения без вычисления самого произведения — достаточно проверить делимость только одного множителя. Например, чтобы узнать, делится ли $45\cdot 26\cdot 36$ на 15, не нужно ничего перемножать: можно заметить, что $45 = 15 \cdot 3$, значит, 45 уже делится на 15 — а тогда, по свойству 1, делится и всё произведение.

А цепочка делимости пригождается, когда нужно проверить делимость сразу «в несколько шагов»: например, 72 делится на 12, а 12 делится на 3 — значит, 72 сразу делится и на 3, без прямой проверки.

⚠️ Частая ошибка: думать, что верно и обратное утверждение — будто каждый множитель обязан делиться на число, если произведение делится на него. Это неверно! Например, произведение $6 \cdot 10 = 60$ делится на 4, хотя ни 6, ни 10 сами на 4 не делятся — «4» набирается только из их общих частей: $6 = 2\cdot 3$ и $10 = 2\cdot 5$, а вместе они дают $2\cdot 2 = 4$. Свойство 1 работает только в одну сторону: от делимости множителя — к делимости произведения, а не наоборот.
🧠 Запомни:
  • Свойство 1: если $b$ делится на $c$, то $ab$ тоже делится на $c$ — для любого множителя $a$.
  • Доказательство: $b=ck \Rightarrow ab = a(ck) = c(ak)$ — частное равно $ak$.
  • Свойство 2 (цепочка): $a$ делится на $b$, $b$ делится на $c$ $\Rightarrow$ $a$ делится на $c$.
  • Оба свойства позволяют не вычислять произведение, а работать только с делимостью одного множителя.
  • Обратное к свойству 1 неверно: произведение может делиться на число, даже если ни один множитель на него не делится.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике