Делимость суммы и разности — Математика, 5 класс

Можно ли не считать всё подряд

Делится ли число $9393 + 93\cdot 93 - 186$ на 93? Считать честно — долго. Но заметим: число 9393 само делится на 93 ($9393 = 93\cdot 101$), слагаемое $93\cdot 93$ тоже делится на 93, и число 186 делится на 93 ($186 = 93\cdot 2$). Тогда всё выражение можно переписать так:

        💡 $9393 + 93\cdot 93 - 186 = 93\cdot 101 + 93\cdot 93 - 93\cdot 2 = 93\cdot(101+93-2)$ — вся сумма
        записана как утроенное на 93 число, значит, она делится на 93. Считать саму сумму
        не понадобилось!
      

Это не везение, а общее правило про сумму и разность. Проверь его на других числах во вкладке «Свойство 1» справа.

Свойство 1: если оба числа делятся, делится и их сумма (разность)

Если два числа делятся на некоторое число, то их сумма и разность тоже делятся на это число.

Докажем это буквами, а не на конкретных примерах — тогда правило будет работать всегда. Первое число обозначим $a$, второе — $b$, а число, на делимость которого проверяем, — буквой $c$.

$a$ делится на $c$ — значит, есть такое число $k$, что $a = c\cdot k$.

$b$ делится на $c$ — значит, есть такое число $l$, что $b = c\cdot l$.

Сложим: $a+b = c\cdot k + c\cdot l = c\cdot(k+l)$ — сумма делится на $c$, в частном получается $k+l$.

Точно так же для разности: $a-b = c\cdot k - c\cdot l = c\cdot(k-l)$ — разность тоже делится на $c$.

Заметь: для частных $a:c$ и $b:c$ пришлось взять разные буквы $k$ и $l$ — ведь сами эти частные, как правило, разные числа.

Зачем это нужно: поиск общих делителей

Свойство 1 помогает находить общие делители двух чисел, даже если сами числа большие. Найдём, например, все общие делители чисел 1354 и 1357.

Пусть оба числа делятся на некоторое число $c$. Тогда, по свойству 1, их разность $1357-1354=3$ тоже делится на $c$. А у числа 3 всего два делителя — 1 и 3. Значит, $c$ может быть равно только 1 или 3. Но $1354$ на 3 не делится (сумма его цифр $1+3+5+4=13$ на 3 не делится) — значит, $c\ne 3$. Остаётся единственный общий делитель — число 1.

Попробуй сам подобрать общие делители других пар чисел во вкладке «Общие делители» справа — там же спрятан ответ на этот пример.

Свойство 2: если только одно число делится — сумма не делится

Число $215 = 190 + 25$. Число 190 делится на 19 ($190 = 19\cdot 10$), а число 25 — нет. Делится ли на 19 сама сумма 215?

        💡 Если бы сумма $190+25$ делилась на 19, то, по свойству 1, разность $(190+25)-190$, то есть число 25,
        тоже делилась бы на 19. Но 25 на 19 не делится! Получили противоречие — значит, наше предположение было
        неверным, и сумма 215 на 19 не делится.
      

Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое — нет, то их сумма и разность на это число не делятся.

Это доказательство методом «от противного»: мы предположили обратное тому, что хотим доказать, и пришли к нелепости — значит, предположение было ложным. Пройди все шаги рассуждения во вкладке «Свойство 2» справа.

⚠️ Частая ошибка: считать, что если ни одно из слагаемых не делится на число, то и сумма точно не делится. Это неверно! Например, ни 3, ни 5 не делятся на 4, а их сумма $3+5=8$ на 4 делится. Свойство 2 работает только тогда, когда ровно одно из двух чисел делится на данное, а другое — нет. Если оба числа не делятся, про их сумму заранее ничего сказать нельзя — нужно проверять отдельно.

🧠 Запомни:

Свойство 1: $a=ck$, $b=cl$ $\Rightarrow$ $a+b=c(k+l)$ и $a-b=c(k-l)$ — сумма и разность делятся на $c$.
Свойство 2: если $a$ делится на $c$, а $b$ — нет, то $a+b$ и $a-b$ на $c$ не делятся.
Свойство 1 применяют «в обратную сторону» для поиска общих делителей: общий делитель чисел обязан делить и их разность.
Если ни одно из слагаемых не делится на число — про сумму ничего заранее не известно, нужно проверять.

← Глава 2 · §2, п.1 Делимость произведения Все темы Глава 2 · §3, п.1 → Признаки делимости на 10, на 2 и на 5

Оба числа делятся на $c$ — выбери пример и переключай сумму/разность

$a$ делится на $c$, а $b$ — нет. Раскрывай шаги доказательства от противного

Общий делитель двух чисел обязан делить и их разность. Проверь делители разности — какие из них подходят обоим числам?

Наведи курсор на подчёркнутые слова в тексте слева — интерактив сам переключится