5 класс · Делимость натуральных чисел

Разложение чисел на простые множители

Что значит «разложить число на множители»

Если число записать в виде произведения нескольких чисел, говорят, что оно разложено на множители. Например, запись $40 = 4\cdot 10$ означает, что число 40 разложили на множители 4 и 10.

С простым числом всё просто: у него есть только одно такое разложение — само число и единица, например $3 = 3\cdot 1$. А вот составное число всегда можно разложить на два множителя, отличных от 1, причём часто не одним способом. Так, число 40 — это и $4\cdot 10$, и $4\cdot 5\cdot 2$, и $8\cdot 5$, и $20\cdot 2$...

Но если в каждом из этих произведений продолжить раскладывать множители дальше — пока не останутся только простые числа — то результат окажется одним и тем же, если ещё договориться записывать множители в порядке неубывания:

$40 = 4\cdot 10 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5;\quad 40 = 8\cdot 5 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5;\quad 40 = 20\cdot 2 = 2\cdot 5\cdot 2\cdot 2$

Каким бы способом ни раскладывать составное число до простых множителей, получится одно и то же разложение $40 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5$. Попробуй разложить и другие числа сам в блоке «Столбик» справа.

Разложение числа на простые множители — это запись составного числа в виде произведения только простых чисел (в порядке неубывания). Такое разложение для каждого числа единственно — с точностью до порядка множителей.

Для небольших чисел разложение можно вести прямо в строчку, как выше с числом 40. А для больших чисел удобнее вести запись в столбик: на каждом шаге ищем наименьший простой делитель текущего числа — с помощью уже знакомых признаков делимости — и делим на него, пока не получим 1.

Разложение в столбик на примере 11 550

Разложим на простые множители число 11 550, применяя признаки делимости на каждом шаге:

1
11 550 оканчивается нулём — значит, чётное, и делится на 2: $11\,550 : 2 = 5775$.
2
У числа 5775 сумма цифр $5+7+7+5=24$ делится на 3 — значит, и само 5775 делится на 3: $5775 : 3 = 1925$.
3
1925 оканчивается на 5 — делится на 5: $1925 : 5 = 385$.
4
385 снова оканчивается на 5 — снова делим на 5: $385 : 5 = 77$.
5
77 не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, но делится на следующее простое число — 7: $77 : 7 = 11$.
6
Осталось число 11 — оно само уже простое, поэтому это последний множитель: $11 : 11 = 1$. Разложение закончено.
$11\,550 = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 11$

Полностью этот разбор — со всеми шагами по порядку — можно открыть в интерактиве справа.

Зачем нужно раскладывать на простые множители

Составные числа как будто «собраны» из простых чисел, как из кирпичиков. Это позволяет быстро отвечать на вопросы о делимости, не выполняя деление столбиком заново.

💡 Правило 1. Число делится только на те простые числа, которые входят в его разложение. Число $11\,550 = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 11$ делится на простые числа 2, 3, 5, 7 и 11, но не делится на простое число 13 — ведь тройки в разложении нет.
💡 Правило 2. Число делится на составное число, только если разложение этого составного числа целиком «сидит» внутри разложения исходного. Так, $75 = 3\cdot 5\cdot 5$ — все эти множители есть в разложении 11 550, значит 11 550 делится на 75. А вот $4 = 2\cdot 2$ — в разложении 11 550 всего одна двойка, второй не хватает, поэтому 11 550 на 4 не делится. Проверь и другие числа в блоке «Проверка делимости» справа.
💡 Из жизни: представь конструктор из кубиков всего двух видов — например, синих и красных. Из этих «простых» кубиков можно построить сколько угодно разных фигур — «составных чисел». И какую бы фигуру ни разобрать обратно на кубики, набор кубиков всегда получится одним и тем же: столько-то синих и столько-то красных. Так же и с числами: набор простых множителей у числа — единственный, как бы его ни собирали.
⚠️ Частая ошибка: останавливаться слишком рано. Например, написать $40 = 4\cdot 10$ и решить, что это уже разложение на простые множители — но ведь 4 и 10 сами составные! Раскладывать нужно до конца, пока все множители не станут простыми: $40 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5$. Вторая частая ошибка — забыть повторяющийся множитель: писать $40 = 2\cdot 5$ вместо $2\cdot 2\cdot 2\cdot 5$, «потеряв» две двойки по дороге.
🧠 Запомни:
  • Разложение на простые множители — представление числа произведением только простых чисел.
  • Для каждого числа такое разложение единственно (с точностью до порядка множителей).
  • Большие числа удобно раскладывать в столбик, используя признаки делимости на каждом шаге.
  • Число делится на $b$ тогда и только тогда, когда разложение $b$ целиком входит в разложение числа.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике