5 класс · Делимость натуральных чисел

Признаки делимости на 3 и на 9

Ещё один быстрый способ проверки

Признаки делимости на 10, на 2 и на 5 работают по последней цифре числа. Но на 3 и на 9 так не получится — например, число 12 оканчивается цифрой 2, но делится на 3, а число 13 тоже оканчивается «похожей» цифрой, но на 3 не делится. Здесь работает не последняя цифра, а сумма всех цифр числа.

Разберём это на примере. Задача. Делится ли на 3 число 8535? Представим его в виде суммы разрядных слагаемых:

$8535 = 8000 + 500 + 30 + 5 = 8\cdot 1000 + 5\cdot 100 + 3\cdot 10 + 5$

Из каждого «круглого» числа выделим единицу: $1000 = 999+1$, $100=99+1$, $10=9+1$. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

$8535 = 8\cdot 999 + 5\cdot 99 + 3\cdot 9 + (8+5+3+5)$

Числа 999, 99 и 9 делятся и на 3, и на 9. Значит, по свойствам делимости, первые три слагаемых $8\cdot 999 + 5\cdot 99 + 3\cdot 9$ тоже делятся и на 3, и на 9. А вот делимость всей суммы 8535 зависит только от последнего слагаемого — суммы цифр $8+5+3+5=21$. Раскрой это рассуждение по шагам в блоке «Разбор примера» справа.

Признак делимости на 3

Число 21 делится на 3 (ведь $21=3\cdot 7$), поэтому и число 8535 делится на 3. Этот пример иллюстрирует общий признак:

Число делится на 3 в том и только в том случае, когда сумма его цифр делится на 3.
💡 Число $a$ делится на 3 $\Leftrightarrow$ сумма цифр числа $a$ делится на 3. Проверь любое число в блоке «Проверь число» справа — сумма цифр посчитается сама.

Признак делимости на 9

Признак делимости на 9 формулируется совершенно так же, только вместо тройки — девятка:

Число делится на 9 в том и только в том случае, когда сумма его цифр делится на 9.
💡 Число $a$ делится на 9 $\Leftrightarrow$ сумма цифр числа $a$ делится на 9.

Проиллюстрировать признак можно в точности так же: числа 999, 99 и 9 делятся ещё и на 9, значит, делимость числа 8535 на 9 тоже зависит только от суммы его цифр. Она равна 21, а 21 на 9 не делится ($21 = 9\cdot 2 + 3$). Поэтому число 8535 делится на 3, но не делится на 9.

Почему это работает для любого числа

Рассуждение с числом 8535 годится для любого натурального числа — просто «круглых» слагаемых будет столько, сколько цифр в числе.

1
Разложим число на разрядные слагаемые: тысячи, сотни, десятки, единицы (или ещё больше разрядов, если число длиннее).
2
Каждое «круглое» число вида 10, 100, 1000, … запишем как $(9\ldots9)+1$ — число девяток на единицу больше, отделив тем самым от каждого разрядного слагаемого его цифру.
3
Числа из одних девяток (9, 99, 999, …) всегда делятся и на 3, и на 9. Значит, сумма всех слагаемых с этими числами тоже делится и на 3, и на 9 — она «не мешает» проверке.
4
Остаётся сумма отделённых цифр — сумма цифр исходного числа. Именно от неё и зависит, делится ли всё число на 3 или на 9.

Полный разбор с числом 8535 — в блоке «Разбор примера» справа.

💡 Из жизни: в магазине кассир посчитал чек: тетрадь за 30 р., альбом за 60 р., три ручки и девять карандашей неизвестной целой цены — итого получилось 140 р. 80 коп. Копейки сразу выдают ошибку: все товары стоят целое число рублей, значит, и сумма чека обязана быть целым числом рублей, без копеек. Так, зная только сами признаки делимости, можно быстро заметить, что кассир где-то ошибся в подсчёте — не пересчитывая всё заново.
⚠️ Частая ошибка: считать, что раз число делится на 3, то оно обязательно делится и на 9. Это неверно! У числа 8535 сумма цифр равна 21: $21$ делится на 3, но не делится на 9 — значит, само 8535 делится на 3, но не делится на 9. Проверять оба признака нужно отдельно, каждый по своей сумме цифр (точнее, по одной и той же сумме, но по разным делителям — 3 и 9).
🧠 Запомни:
  • $a$ делится на 3 $\Leftrightarrow$ сумма цифр $a$ делится на 3.
  • $a$ делится на 9 $\Leftrightarrow$ сумма цифр $a$ делится на 9.
  • Если число делится на 9, оно всегда делится и на 3 (обратное неверно).
  • Признак работает потому, что числа 9, 99, 999, … всегда делятся и на 3, и на 9.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике