Признаки делимости на 10, на 2 и на 5 работают по последней цифре числа. Но на 3 и на 9 так не получится —
например, число 12 оканчивается цифрой 2, но делится на 3, а число 13 тоже оканчивается «похожей» цифрой, но
на 3 не делится. Здесь работает не последняя цифра, а сумма всех цифр числа.
Разберём это на примере. Задача. Делится ли на 3 число
8535? Представим его в виде суммы разрядных слагаемых:
Числа 999, 99 и 9 делятся и на 3, и на 9. Значит, по свойствам делимости, первые три слагаемых
$8\cdot 999 + 5\cdot 99 + 3\cdot 9$ тоже делятся и на 3, и на 9. А вот делимость всей суммы 8535
зависит только от последнего слагаемого — суммы цифр $8+5+3+5=21$. Раскрой это рассуждение по шагам во
вкладке «Разбор примера» справа.
Признак делимости на 3
Число 21 делится на 3 (ведь $21=3\cdot 7$), поэтому и число 8535 делится на 3. Этот пример иллюстрирует
общий признак:
Число делится на 3 в том и только в том случае, когда сумма его цифр делится на 3.
💡 Число $a$ делится на 3 $\Leftrightarrow$ сумма цифр числа $a$ делится на 3.
Проверь любое число во вкладке «Проверь число» справа — сумма
цифр посчитается сама.
Признак делимости на 9
Признак делимости на 9 формулируется совершенно так же, только вместо тройки — девятка:
Число делится на 9 в том и только в том случае, когда сумма его цифр делится на 9.
💡 Число $a$ делится на 9 $\Leftrightarrow$ сумма цифр числа $a$ делится на 9.
Проиллюстрировать признак можно в точности так же: числа 999, 99 и 9 делятся ещё и на 9, значит, делимость
числа 8535 на 9 тоже зависит только от суммы его цифр. Она равна 21, а 21 на 9 не делится
($21 = 9\cdot 2 + 3$). Поэтому число 8535 делится на 3, но не делится на 9.
Почему это работает для любого числа
Рассуждение с числом 8535 годится для любого натурального числа — просто «круглых» слагаемых будет столько,
сколько цифр в числе.
1
Разложим число на разрядные слагаемые: тысячи, сотни, десятки, единицы (или ещё больше разрядов, если
число длиннее).
2
Каждое «круглое» число вида 10, 100, 1000, … запишем как $(9\ldots9)+1$ — число девяток на единицу
больше, отделив тем самым от каждого разрядного слагаемого его цифру.
3
Числа из одних девяток (9, 99, 999, …) всегда делятся и на 3, и на 9. Значит, сумма всех слагаемых с
этими числами тоже делится и на 3, и на 9 — она «не мешает» проверке.
4
Остаётся сумма отделённых цифр — сумма цифр исходного числа. Именно от неё и зависит, делится ли всё
число на 3 или на 9.
Полный разбор с числом 8535 — во вкладке «Разбор примера» справа.
💡 Из жизни: в магазине кассир посчитал чек: тетрадь за 30 р., альбом за 60 р., три ручки и
девять карандашей неизвестной целой цены — итого получилось 140 р. 80 коп. Копейки сразу выдают ошибку: все
товары стоят целое число рублей, значит, и сумма чека обязана быть целым числом рублей, без копеек. Так,
зная только сами признаки делимости, можно быстро заметить, что кассир где-то ошибся в подсчёте — не пересчитывая всё заново.
⚠️ Частая ошибка: считать, что раз число делится на 3, то оно обязательно делится и на 9.
Это неверно! У числа 8535 сумма цифр равна 21: $21$ делится на 3, но не делится на 9 — значит, само 8535
делится на 3, но не делится на 9. Проверять оба признака нужно отдельно, каждый по своей сумме цифр (точнее,
по одной и той же сумме, но по разным делителям — 3 и 9).
🧠 Запомни:
$a$ делится на 3 $\Leftrightarrow$ сумма цифр $a$ делится на 3.
$a$ делится на 9 $\Leftrightarrow$ сумма цифр $a$ делится на 9.
Если число делится на 9, оно всегда делится и на 3 (обратное неверно).
Признак работает потому, что числа 9, 99, 999, … всегда делятся и на 3, и на 9.