Математический алфавит
Чтобы что-то записать на русском языке, мы используем буквы алфавита. А чтобы что-то
записать на языке математики — используем свой, математический алфавит:
цифры, буквы, скобки и знаки арифметических действий.
Из символов этого алфавита составляются «слова» математического языка —
математические выражения. Например:
$267$, $(38 + 422) \cdot 26$, $a - 5$, $b - (c - a)$, $a \cdot b$, $(a+b)\cdot c$.
Числовое выражение — выражение, в котором нет ни одной буквы, только
цифры, скобки и знаки действий: $267$, $(38+422)\cdot 26$.
Буквенное выражение — выражение, в котором некоторые числа обозначены
буквами: $a - 5$, $\;a \cdot b$, $\;(a+b)\cdot c$.
Как выражения называют
Нам уже знакомы названия простейших выражений:
сумма ($a+b$),
разность ($a-b$),
произведение ($a\cdot b$),
частное ($a:b$).
Более сложное выражение называют по последнему действию, которое в нём
выполняется — как будто читаем его «снаружи внутрь»:
1
В выражении $(a-b)+c$ последнее действие — сложение. Значит, это
сумма: сумма разности чисел $a$ и $b$ и числа $c$.
2
В выражении $(c+a)(b-d)$ последнее действие — умножение двух скобок. Значит, это
произведение: произведение суммы чисел $c$ и $a$ и разности
чисел $b$ и $d$.
💡 Из жизни: два поезда одновременно выехали с одной станции в
противоположных направлениях со скоростями $a$ км/ч и $b$ км/ч. Тогда скорость их
удаления друг от друга равна $(a+b)$ км/ч, а расстояние между ними через 3 часа —
$(a+b)\cdot 3$ км. Буквы позволили записать правило сразу для любых скоростей, а не
только для одного конкретного случая.
Как «экономят» на знаке умножения
Если в произведении участвует хотя бы одна буква, знак $\times$ (или $\cdot$) принято
не писать:
$a \cdot b = ab \qquad\qquad (a+b)\cdot c = (a+b)c$
А если число умножается на букву, множители ещё и меняют местами: числовой множитель
пишут перед буквой, а не после неё:
$a \cdot 2 = 2a$
А вот между двумя числами знак умножения убрать нельзя — иначе $2 \cdot 3$
превратится в непонятное «$23$», которое выглядит как совсем другое число.
Составление выражений
Важно уметь не только читать готовое выражение, но и составлять его самому — то есть
«переводить» условие с русского языка на математический:
| На русском языке |
На математическом языке |
| Произведение первых пяти натуральных чисел |
$1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5$ |
| Сумма всех однозначных чисел |
$0+1+2+\dots+9$ |
| Сумма всех двузначных чисел |
$10+11+\dots+99$ |
⚠️ Частая ошибка: при сокращении записи умножения путают порядок множителей
и пишут $a2$ вместо $2a$ — числовой множитель обязательно
ставится перед буквой. И ещё одна ловушка: знак умножения нельзя убирать между двумя
числами — $2\cdot 3$ нельзя записать как «$23$», это будет уже другое число.
🧠
Запомни:
- Выражение без букв — числовое, с буквами — буквенное.
- 4 простейших названия: сумма ($+$), разность ($-$), произведение ($\cdot$), частное ($:$).
- Сложное выражение называют по последнему действию.
- Знак умножения можно убрать, если рядом есть буква: $ab$, $2a$ — но не между двумя числами.