5 класс · Делимость натуральных чисел

Наименьшее общее кратное

Общие кратные

Любые два числа $a$ и $b$ имеют общие кратные — например, ими всегда являются произведения $ab,\ 2ab,\ 3ab$ и так далее. Так, произведение $12\cdot 30 = 360$ делится и на 12, и на 30. Но существуют и куда меньшие числа, кратные обоим числам сразу, например 180, 120, 60. Число 60 — самое маленькое из всех общих кратных чисел 12 и 30.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух и более чисел — это самое маленькое число, которое делится на каждое из данных чисел. Записывают так: $\text{НОК}(12,30)=60$.

Способ через разложение на множители

Покажем алгоритм на числах 12 и 30. Разложим оба числа на простые множители:

1
$12 = 2\cdot 2\cdot 3$;   $30 = 2\cdot 3\cdot 5$
2
Возьмём разложение числа 12 целиком: $2\cdot 2\cdot 3$.
3
Допишем к нему «недостающий» множитель из разложения числа 30 — тройки двоек и одна тройка у нас уже есть, не хватает только множителя $5$: $2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$.
4
Полученное произведение содержит оба разложения целиком, а значит, кратно и 12, и 30 — при этом лишних множителей в нём нет. Значит, $\text{НОК}(12,30) = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 = 60$.

Проследи шаги на числах 12 и 30 в блоке «НОК по разложению» справа.

🧠 Алгоритм нахождения НОК через разложение на простые множители:
  1. Разложить данные числа на простые множители.
  2. Выписать разложение одного из них.
  3. Добавить к нему недостающие множители из разложений оставшихся чисел.
  4. Если нужно, найти значение полученного произведения.

Пример 1. Числа покрупнее

Найдём $\text{НОК}(80,140)$:

$80 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5;\qquad 140 = 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7$

В разложении числа 80 не хватает только множителя 7 из разложения числа 140. Значит,

$\text{НОК}(80,140) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7 = 80\cdot 7 = 560$

Проверь в блоке «НОК по разложению» справа.

Пример 2. Взаимно простые числа

Найдём $\text{НОК}(32,25)$:

$32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2;\qquad 25 = 5\cdot 5$

Общих простых множителей у этих чисел нет вообще, поэтому в НОК войдут все множители обоих чисел:

$\text{НОК}(32,25) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 5 = 32\cdot 25 = 800$
Числа 32 и 25 — взаимно простые (в их разложениях нет общих множителей). Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел всегда равно их произведению.

Смотри сам в блоке «НОК по разложению» — добавлять приходится вообще всё разложение второго числа.

Пример 3. НОК сразу нескольких чисел

Найдём $\text{НОК}(28,35,140)$:

$28 = 2\cdot 2\cdot 7;\quad 35 = 5\cdot 7;\quad 140 = 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7$

В разложении числа 140 уже содержатся все простые множители чисел 28 и 35 — то есть 140 делится и на 28, и на 35. Значит, само число 140 и есть их наименьшее общее кратное:

$\text{НОК}(28,35,140) = 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7 = 140$

Способ разложения годится для любого количества чисел, не только для двух — как и способ нахождения НОД.

Способ перебора кратных

Найти НОК можно и без разложения на множители — перебирая кратные одного из чисел (удобнее брать большее число). Проверим так же числа 12 и 30:

1
$30\cdot 1 = 30$ — не делится на 12, значит, это ещё не НОК.
2
$30\cdot 2 = 60$ — делится на 12, значит, $\text{НОК}(12,30)=60$.

Такой способ рассуждений прост и нагляден, но удобен только для небольших чисел — если числа взаимно простые или крупные, перебирать кратные придётся долго. В общем случае надёжнее разложение на простые множители. Попробуй перебор сам в блоке «Кратные на числовой прямой» справа.

💡 Из жизни: автобус отправляется от остановки каждые 12 минут, а трамвай — каждые 30 минут. Если оба выехали одновременно в 8:00, то следующий раз одновременно на остановке они окажутся только через $\text{НОК}(12,30)=60$ минут — то есть ровно через час, в 9:00.
⚠️ Частая ошибка: при повторяющемся множителе для НОК берут наименьшую из степеней, как для НОД, хотя нужно наоборот — наибольшую. Например, для $32=2^5$ и $48=2^4\cdot 3$ по ошибке могут взять только $2^4$, хотя в НОК двоек должно быть столько, сколько их в самом «богатом» разложении — то есть все пять: $\text{НОК}(32,48)=2^5\cdot 3=96$. Ещё одна частая ошибка — думать, что НОК всегда равен произведению чисел: это верно только для взаимно простых чисел (как в примере 2), а в общем случае НОК меньше произведения (как в примере с 12 и 30: $12\cdot 30=360$, а $\text{НОК}(12,30)=60$).
🧠 Запомни:
  • НОК через разложение: взять разложение одного числа и дописать к нему недостающие множители остальных.
  • Повторяющийся множитель берётся столько раз, сколько его максимально встречается в одном из чисел (в отличие от НОД, где берётся минимум).
  • НОК взаимно простых чисел равно их произведению.
  • Если одно число делится на другое, их НОК равно бо́льшему из них.
  • Способ перебора кратных нагляден, но подходит только для небольших чисел.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике