Любые два числа $a$ и $b$ имеют общие кратные — например, ими всегда являются произведения
$ab,\ 2ab,\ 3ab$ и так далее. Так, произведение $12\cdot 30 = 360$ делится и на 12, и на 30. Но
существуют и куда меньшие числа, кратные обоим числам сразу, например 180, 120, 60. Число 60 —
самое маленькое из всех общих кратных чисел 12 и 30.
Наименьшее общее кратное (НОК) двух и более чисел — это самое маленькое число, которое
делится на каждое из данных чисел. Записывают так: $\text{НОК}(12,30)=60$.
Способ через разложение на множители
Покажем алгоритм на числах 12 и 30. Разложим оба числа на простые множители:
1
$12 = 2\cdot 2\cdot 3$; $30 = 2\cdot 3\cdot 5$
2
Возьмём разложение числа 12 целиком: $2\cdot 2\cdot 3$.
3
Допишем к нему «недостающий» множитель из разложения числа 30 — тройки двоек и одна тройка у нас уже
есть, не хватает только множителя $5$: $2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$.
4
Полученное произведение содержит оба разложения целиком, а значит, кратно и 12, и 30 — при этом лишних
множителей в нём нет. Значит, $\text{НОК}(12,30) = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 = 60$.
Проследи шаги на числах 12 и 30 во вкладке «НОК по разложению» справа.
🧠 Алгоритм нахождения НОК через разложение на простые множители:
Разложить данные числа на простые множители.
Выписать разложение одного из них.
Добавить к нему недостающие множители из разложений оставшихся чисел.
Если нужно, найти значение полученного произведения.
В разложении числа 140 уже содержатся все простые множители чисел 28 и 35 — то есть 140 делится и на 28,
и на 35. Значит, само число 140 и есть их наименьшее общее кратное:
Способ разложения годится для любого количества чисел, не только для двух — как и способ нахождения НОД.
Способ перебора кратных
Найти НОК можно и без разложения на множители — перебирая кратные одного из чисел (удобнее брать большее
число). Проверим так же числа 12 и 30:
1
$30\cdot 1 = 30$ — не делится на 12, значит, это ещё не НОК.
2
$30\cdot 2 = 60$ — делится на 12, значит, $\text{НОК}(12,30)=60$.
Такой способ рассуждений прост и нагляден, но удобен только для небольших чисел — если числа взаимно
простые или крупные, перебирать кратные придётся долго. В общем случае надёжнее разложение на простые
множители. Попробуй перебор сам во вкладке «Кратные на числовой прямой» справа.
💡 Из жизни: автобус отправляется от остановки каждые 12 минут, а трамвай — каждые
30 минут. Если оба выехали одновременно в 8:00, то следующий раз одновременно на остановке они окажутся
только через $\text{НОК}(12,30)=60$ минут — то есть ровно через час, в 9:00.
⚠️ Частая ошибка: при повторяющемся множителе для НОК берут наименьшую из степеней,
как для НОД, хотя нужно наоборот — наибольшую. Например, для $32=2^5$ и $48=2^4\cdot 3$ по ошибке
могут взять только $2^4$, хотя в НОК двоек должно быть столько, сколько их в самом «богатом» разложении —
то есть все пять: $\text{НОК}(32,48)=2^5\cdot 3=96$. Ещё одна частая ошибка — думать, что НОК всегда равен
произведению чисел: это верно только для взаимно простых чисел (как в примере 2), а в общем случае НОК
меньше произведения (как в примере с 12 и 30: $12\cdot 30=360$, а $\text{НОК}(12,30)=60$).
🧠 Запомни:
НОК через разложение: взять разложение одного числа и дописать к нему недостающие множители остальных.
Повторяющийся множитель берётся столько раз, сколько его максимально встречается в одном из чисел (в отличие от НОД, где берётся минимум).
НОК взаимно простых чисел равно их произведению.
Если одно число делится на другое, их НОК равно бо́льшему из них.
Способ перебора кратных нагляден, но подходит только для небольших чисел.