5 класс · Делимость натуральных чисел

Степень числа

Короткая запись одинаковых множителей

Мы уже знаем, что сумму одинаковых слагаемых можно записать короче в виде произведения, например $a+a+a+a+a=5a$. Произведение одинаковых множителей тоже можно записать короче — и называется это степенью:

$a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a = a^5$

Читают такую запись «$a$ в степени 5» или просто «$a$ в пятой». Число $a$ называют основанием степени, а число 5 — показателем степени. Основание показывает, какой множитель взяли, а показатель — сколько таких множителей перемножили.

Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ ($n>1$) называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$: $$a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot \ldots\cdot a}_{n\ \text{раз}}, \quad n>1.$$ Степенью числа $a$ с показателем 1 называется само число $a$: $a^1=a$.

Попробуй сам собрать степень из множителей в блоке «Степень — произведение» справа.

Квадрат и куб числа

Вторая и третья степени числа встречаются так часто, что у них есть особые названия. Вторую степень называют квадратом числа, а третью — кубом числа. Читают соответственно: $a^2$ — «$a$ в квадрате», $a^3$ — «$a$ в кубе».

          💡 Откуда такие названия: если $a$ — длина стороны квадрата, то площадь этого
          квадрата равна $a\cdot a=a^2$. А если $a$ — длина ребра куба, то его объём равен $a\cdot a\cdot a=a^3$.
          Посмотри в блоке «Квадрат и куб» справа, как из плоского квадрата
          со стороной $a$ и объёмного куба с ребром $a$ получаются формулы $a^2$ и $a^3$.
        

Порядок действий со степенями

В выражениях, содержащих степени, сначала выполняется возведение в степень, затем умножение и деление, и только после этого — сложение и вычитание.

Пример. Найдём значение выражения $10^5 - 400 : 2^3$.

1

Сначала считаем степень: $2^3 = 2\cdot 2\cdot 2 = 8$.

2

Затем деление: $400 : 8 = 50$.

3

И только теперь вычитание: $10^5 - 50 = 100\,000 - 50 = 99\,950$.

$10^5 - 400 : 2^3 = 99\,950$

Степени в разложении на простые множители

Обозначение в виде степени позволяет короче записывать разложение числа на простые множители. Одинаковые множители, идущие подряд, заменяют степенью:

$144 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3 = 2^4\cdot 3^2$
$600 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 5 = 2^3\cdot 3\cdot 5^2$

Такая запись не только короче — она ещё и упрощает нахождение НОД и НОК.

НОД и НОК через показатели степеней

Если оба числа разложены на простые множители в виде степеней, найти их НОД и НОК можно, сравнивая показатели степеней при одинаковых простых множителях — без пошагового дописывания множителей, как раньше.

1

Чтобы найти НОД, нужно взять общие простые множители обоих чисел с наименьшими показателями.

2

Чтобы найти НОК, нужно взять все встречающиеся простые множители (и общие, и не общие) с наибольшими показателями.

Для чисел $144=2^4\cdot 3^2$ и $600=2^3\cdot 3\cdot 5^2$: $$\text{НОД}(144,600) = 2^3\cdot 3 = 8\cdot 3 = 24$$ $$\text{НОК}(144,600) = 2^4\cdot 3^2\cdot 5^2 = 16\cdot 9\cdot 25 = 3600$$

Разбери оба правила по шагам в блоке «НОД и НОК через степени» справа — на числах 144 и 600, а также на других примерах.

⚠️ Частая ошибка: путают возведение в степень с умножением на показатель — думают, что $a^n = a\cdot n$. Например, ошибочно считают $5^2=10$ (это $5\cdot 2$), хотя на самом деле $5^2=5\cdot 5=25$. Показатель степени говорит, сколько раз число берут множителем, а не на что его умножают. Сравни сам: $5^3=125$, а $5\cdot 3=15$ — это совсем разные числа.

🧠 Запомни:

$a^n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$ (при $n>1$); $a^1=a$.
$a$ — основание степени, $n$ — показатель степени.
$a^2$ — квадрат числа, $a^3$ — куб числа.
Порядок действий: сначала степень, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание.
В разложении на простые множители одинаковые множители удобно записывать как степень.
НОД — общие множители с наименьшими показателями; НОК — все множители с наибольшими показателями.