Разложение числа на простые множители помогает не только умножать, но и делить. Произведение двух чисел
получается, если выписать вместе их разложения на простые множители. Значит, чтобы найти
частное, можно, наоборот, из простых множителей делимого вычеркнуть простые множители
делителя:
Убирать простые множители можно не все сразу, а постепенно, по частям. Например, у чисел
5845 и 35 есть общий множитель 5. Сначала вычёркиваем из обоих разложений пятёрку, а потом — оставшуюся
семёрку:
$5845 : 35 = 1169 : 7 = 167$
💡 Из жизни: представь, что 96 пирожков нужно поровну раздать 4 классам, а в каждом классе —
по 6 групп детей. Можно сразу разделить 96 на $4\cdot6=24$ группы, а можно сначала разделить пирожки между
4 классами (по 24 пирожка), а потом каждый класс поделит свои 24 пирожка на 6 групп (по 4 пирожка). Результат
один и тот же — просто раскладывать проще, если делить не сразу на большое число, а по частям, на
однозначные множители. Попробуй сам разложить деление на части во вкладке
«Деление по частям» справа.
Теорема 1. Деление на произведение
Для любых натуральных чисел $a$, $b$ и $c$ (если все указанные деления выполнимы) верно равенство:
$$a:(b\cdot c) = (a:b):c$$
Почему это так — рассуждаем через разложение на простые множители.
1
Частное $a:(b\cdot c)$ получается, если из разложения числа $a$ убрать все простые множители числа
$b\cdot c$ — то есть объединение множителей числа $b$ и множителей числа $c$.
2
При вычислении $(a:b):c$ получается то же самое, только множители убираются не сразу, а
последовательно: сначала множители числа $b$, потом — множители числа $c$.
3
Убрать все множители сразу или убрать их по очереди — результат один и тот же. Значит,
$a:(b\cdot c)=(a:b):c$, что и требовалось доказать.
Именно на этом основано деление «по частям» — деление на многозначное число заменяют цепочкой делений на
однозначные множители. Пример из учебника: $288 = (2\cdot2)\cdot(2\cdot2\cdot2)\cdot(3\cdot3)$, поэтому
деление на 288 можно заменить на три деления подряд — на 4, на 8 и на 9.
Теоремы 2 и 3. Свойства частного
Ещё два полезных свойства связывают деление с одновременным изменением делимого и делителя.
Теорема 2. Для любых натуральных чисел $a$, $b$ и $c$ (где $c$ — общий делитель $a$ и $b$):
$$a:b = (a:c):(b:c)$$
Частное не изменится, если делимое и делитель разделить на одно и то же натуральное число.
Теорема 3. Для любых натуральных чисел $a$, $b$ и $c$:
$$a:b = (a\cdot c):(b\cdot с)$$
Частное не изменится, если делимое и делитель умножить на одно и то же натуральное число.
Доказать теорему 3 проще всего справа налево: равенство $(a\cdot c):(b\cdot c) = a:b$ верно, потому что мы
разделили делимое $(a\cdot c)$ и делитель $(b\cdot c)$ на число $c$ — а это уже теорема 2. Значит, обе теоремы
вместе означают одно правило: частное не меняется, если делимое и делитель умножить или разделить на
одно и то же число — так же, как при сокращении и расширении дробей.
Проверь оба свойства на конкретных числах во вкладке
«Свойства частного» справа.
Бонус: связь НОД и НОК
Эти же свойства деления помогают доказать красивый факт про наибольший общий делитель и наименьшее общее
кратное двух чисел:
Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ верно равенство
$$\text{НОД}(a,b)\cdot\text{НОК}(a,b) = a\cdot b$$
Вспомни правило из предыдущих тем: НОД — это общие простые множители с наименьшими показателями, а
НОК — все встречающиеся множители с наибольшими показателями. Если для каждого простого множителя
сложить его наименьший и наибольший показатель у чисел $a$ и $b$, получится ровно сумма показателей в $a$
и в $b$ — то есть множитель числа $a\cdot b$. Проверь это равенство на числах во вкладке
«НОД · НОК = a · b» справа.
⚠️ Частая ошибка: когда деление расписывают «по частям», после первого деления по ошибке
начинают умножать, а не делить дальше. Например, при вычислении $720:(4\cdot6)$ верно так:
$720:4=180$, а затем $180:6=30$. Ошибочно же вместо второго деления пишут $180\cdot6=1080$ — путают
оставшийся множитель в скобках с множителем, на который нужно ещё раз разделить, а не умножить.
Всегда проверяй знак действия у каждого оставшегося множителя делителя.
🧠 Запомни:
$a:(b\cdot c) = (a:b):c$ — делить на произведение можно по частям, множитель за множителем.
$a:b = (a:c):(b:c)$ — частное не меняется, если делимое и делитель разделить на одно число.
$a:b = (a\cdot c):(b\cdot c)$ — частное не меняется, если делимое и делитель умножить на одно число.
Деление «по частям» удобно, когда делитель раскладывается на однозначные множители — так вместо
одного сложного деления получается несколько простых.
$\text{НОД}(a,b)\cdot\text{НОК}(a,b) = a\cdot b$ — полезное следствие тех же свойств.