Определения — Математика, 5 класс

Что такое определение?

Когда человек изучает иностранный язык, каждое новое слово он узнаёт либо от другого человека, либо из словаря. Например, узнав из словаря, что «cat», «Katze», «chat» — это кошка, дальше уже можно понимать и произносить предложения об этом животном на разных языках.

В математике происходит то же самое. Каждое новое слово математического языка специально разъясняется.

Определение. Предложения, в которых разъясняется значение нового слова, в математике называют определениями. Главная черта определения — смысл «нового» объясняется через уже известное, «старое».

Математических определений мы уже знаем немало. Обычно в них используется слово называется:

Произведением $a\cdot b$ чисел $a$ и $b$ называется сумма $b$ слагаемых, каждое из которых равно $a$.
Частным $a:b$ чисел $a$ и $b$ ($b\ne0$) называется такое число $c$, которое при умножении на $b$ даёт $a$.
Разностью $a-b$ чисел $a$ и $b$ называется такое число $c$, которое при сложении с $b$ даёт $a$.
Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя.
Натуральные числа, которые имеют ровно два различных делителя, называются простыми.
Натуральное число $a$ называется кратным натуральному числу $b$, если существует натуральное число $c$ такое, что $a=bc$.

Каждый раз значение «нового», незнакомого термина разъясняется с помощью «старых», уже известных слов.

        💡 Из жизни: что такое «год»? Обычно говорят: год (астрономический) — это промежуток
        времени, за который Земля совершает один оборот вокруг Солнца. Это и есть определение — просто без слова
        «называется» в начале.
      

Как записываются определения — знаки $\Leftrightarrow$ и $\exists$

Определения могут даваться в разных формах, не всегда со словом «называется». Например, определение «сестры» можно сформулировать так: х называется сестрой у, если х и у имеют одних и тех же отца и мать и х — женщина. Но всегда в определении есть слово, которое появляется впервые как «новое» и объясняется через уже известные «старые» слова.

Для краткой записи определений удобно использовать знак равносильности $\Leftrightarrow$:

$x$ — сестра $y$ $\Leftrightarrow$ $x$ и $y$ имеют одних и тех же отца и мать, и $x$ — женщина
$a$ кратно $b$ $\Leftrightarrow$ существует $c$ такое, что $a=bc$ ($a,b,c\in N$)
$a$ — простое $\Leftrightarrow$ $a$ имеет ровно два различных делителя

Дробь

$$\dfrac{x}{y}$$

— правильная $\Leftrightarrow$ $x \lt y$

Длинное слово «существует» с обязательным продолжением «такое, что» иногда заменяют символом $\exists$. Тогда определение кратного можно записать ещё короче:

        💡 $a$ кратно $b$ $\Leftrightarrow$ $\exists\, c\!:\ a=bc$ ($a,b,c\in N$). Заметим: знака $\exists$ нет ни
        в одном алфавите — он употребляется только в математическом языке. Проверь, при каких $b$ у числа $a$
        находится такое $c$, во вкладке «Кратное через ∃» справа.
      

Берём слово, значение которого нужно объяснить, — например, «кратное».

Находим уже известные слова, через которые можно его выразить: «натуральное число», «существует», «умножение».

Записываем определение через знак $\Leftrightarrow$, а «существует такое, что» — коротко через $\exists$.

Квадратный корень и точный квадрат

Определение. Число $x$ называется квадратным корнем из числа $y$, если $x^2=y$.

Определение. Натуральное число $a$ называется точным квадратом, если существует квадратный корень из числа $a$, являющийся натуральным числом.

Например, $3$ — квадратный корень из $9$, потому что $3^2=9$. Значит, $9$ — точный квадрат. А вот у числа $20$ квадратного корня среди натуральных чисел нет — оно лежит между $16=4^2$ и $25=5^2$, поэтому $20$ не является точным квадратом.

Подвигай точку $x$ по прямой или проверь конкретное число на вкладке «Точный квадрат» справа — квадрат $x\times x$ вырастет прямо на глазах, а его площадь и есть число $y=x^2$.

Определения в геометрии

Вся геометрия построена на цепочке определений: сначала определяют отрезок и луч, потом через них — угол, через угол — вертикальные и смежные углы, и так далее. Каждое следующее определение опирается на уже известные, «старые» понятия.

Например, определения, связанные с окружностью:

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки — центра окружности.
Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой.
Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр этой окружности.

Обрати внимание: определение диаметра опирается на уже определённое раньше понятие «хорда» — это и есть главный принцип построения определений. Подвигай точку на окружности во вкладке «Окружность» справа.

⚠️ Частая ошибка: путают, кто чей квадратный корень. Высказывание «$9$ — квадратный корень из $3$» — неверно, хотя похоже на правду. Правильно наоборот: «$3$ — квадратный корень из $9$», ведь именно $3^2=9$. Направление в определении важно: квадратный корень — это то число, которое возводят в квадрат, а не результат возведения.

🧠 Запомни:

Определение объясняет «новое» слово через уже известные, «старые» слова.
Определения записывают со словом «называется», через «если», а иногда через знак $\Leftrightarrow$.
Знак $\exists$ заменяет слова «существует... такое, что».
$x$ — квадратный корень из $y$, если $x^2=y$.
Число $a$ — точный квадрат, если у него есть натуральный квадратный корень.

← Глава 2 · §5, п.1 Равносильность предложений Все темы Глава 3 · §1, п.1 → Натуральные числа и дроби

Двигай точку x по прямой — под ней вырастет квадрат x×x, площадь которого равна y = x²

Проверь, является ли число точным квадратом:

Двигай точку b по прямой — узнай, существует ли натуральное c такое, что a = b·c

Двигай точку E по окружности — хорда DE меняется, а радиус OA и диаметр BC остаются на месте

Наведи курсор на подчёркнутые слова в тексте слева — интерактив сам переключится