5 класс · Делимость натуральных чисел

Определения

Что такое определение?

Когда человек изучает иностранный язык, каждое новое слово он узнаёт либо от другого человека, либо из словаря. Например, узнав из словаря, что «cat», «Katze», «chat» — это кошка, дальше уже можно понимать и произносить предложения об этом животном на разных языках.

В математике происходит то же самое. Каждое новое слово математического языка специально разъясняется.

Определение. Предложения, в которых разъясняется значение нового слова, в математике называют определениями. Главная черта определения — смысл «нового» объясняется через уже известное, «старое».

Математических определений мы уже знаем немало. Обычно в них используется слово называется:

Произведением $a\cdot b$ чисел $a$ и $b$ называется сумма $b$ слагаемых, каждое из которых равно $a$.
Частным $a:b$ чисел $a$ и $b$ ($b\ne0$) называется такое число $c$, которое при умножении на $b$ даёт $a$.
Разностью $a-b$ чисел $a$ и $b$ называется такое число $c$, которое при сложении с $b$ даёт $a$.
Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя.
Натуральные числа, которые имеют ровно два различных делителя, называются простыми.
Натуральное число $a$ называется кратным натуральному числу $b$, если существует натуральное число $c$ такое, что $a=bc$.

Каждый раз значение «нового», незнакомого термина разъясняется с помощью «старых», уже известных слов.

          💡 Из жизни: что такое «год»? Обычно говорят: год (астрономический) — это промежуток
          времени, за который Земля совершает один оборот вокруг Солнца. Это и есть определение — просто без слова
          «называется» в начале.
        

Как записываются определения — знаки $\Leftrightarrow$ и $\exists$

Определения могут даваться в разных формах, не всегда со словом «называется». Например, определение «сестры» можно сформулировать так: х называется сестрой у, если х и у имеют одних и тех же отца и мать и х — женщина. Но всегда в определении есть слово, которое появляется впервые как «новое» и объясняется через уже известные «старые» слова.

Для краткой записи определений удобно использовать знак равносильности $\Leftrightarrow$:

$x$ — сестра $y$ $\Leftrightarrow$ $x$ и $y$ имеют одних и тех же отца и мать, и $x$ — женщина
$a$ кратно $b$ $\Leftrightarrow$ существует $c$ такое, что $a=bc$ ($a,b,c\in N$)
$a$ — простое $\Leftrightarrow$ $a$ имеет ровно два различных делителя

Дробь

$$\dfrac{x}{y}$$

— правильная $\Leftrightarrow$ $x \lt y$

Длинное слово «существует» с обязательным продолжением «такое, что» иногда заменяют символом $\exists$. Тогда определение кратного можно записать ещё короче:

          💡 $a$ кратно $b$ $\Leftrightarrow$ $\exists\, c\!:\ a=bc$ ($a,b,c\in N$). Заметим: знака $\exists$ нет ни
          в одном алфавите — он употребляется только в математическом языке. Проверь, при каких $b$ у числа $a$
          находится такое $c$, в блоке «Кратное через ∃» справа.
        

1

Берём слово, значение которого нужно объяснить, — например, «кратное».

2

Находим уже известные слова, через которые можно его выразить: «натуральное число», «существует», «умножение».

3

Записываем определение через знак $\Leftrightarrow$, а «существует такое, что» — коротко через $\exists$.

Квадратный корень и точный квадрат

Определение. Число $x$ называется квадратным корнем из числа $y$, если $x^2=y$.

Определение. Натуральное число $a$ называется точным квадратом, если существует квадратный корень из числа $a$, являющийся натуральным числом.

Например, $3$ — квадратный корень из $9$, потому что $3^2=9$. Значит, $9$ — точный квадрат. А вот у числа $20$ квадратного корня среди натуральных чисел нет — оно лежит между $16=4^2$ и $25=5^2$, поэтому $20$ не является точным квадратом.

Подвигай точку $x$ по прямой или проверь конкретное число в блоке «Точный квадрат» справа — квадрат $x\times x$ вырастет прямо на глазах, а его площадь и есть число $y=x^2$.

Определения в геометрии

Вся геометрия построена на цепочке определений: сначала определяют отрезок и луч, потом через них — угол, через угол — вертикальные и смежные углы, и так далее. Каждое следующее определение опирается на уже известные, «старые» понятия.

Например, определения, связанные с окружностью:

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки — центра окружности.
Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой.
Диаметром окружности называется хорда, проходящая через центр этой окружности.

Обрати внимание: определение диаметра опирается на уже определённое раньше понятие «хорда» — это и есть главный принцип построения определений. Подвигай точку на окружности в блоке «Окружность» справа.

⚠️ Частая ошибка: путают, кто чей квадратный корень. Высказывание «$9$ — квадратный корень из $3$» — неверно, хотя похоже на правду. Правильно наоборот: «$3$ — квадратный корень из $9$», ведь именно $3^2=9$. Направление в определении важно: квадратный корень — это то число, которое возводят в квадрат, а не результат возведения.

🧠 Запомни:

Определение объясняет «новое» слово через уже известные, «старые» слова.
Определения записывают со словом «называется», через «если», а иногда через знак $\Leftrightarrow$.
Знак $\exists$ заменяет слова «существует... такое, что».
$x$ — квадратный корень из $y$, если $x^2=y$.
Число $a$ — точный квадрат, если у него есть натуральный квадратный корень.