Математика · 5 класс · Глава 3, §1, п.1

Натуральные числа и дроби

Когда натуральных чисел не хватает

Натуральные числа отлично считают целые предметы: 5 кошек, 5 яблок, отрезок длиной 5 см. Но что делать, если 1 яблоко нужно поделить поровну между 2 детьми? Натурального числа, которое отвечало бы на вопрос «сколько яблок досталось каждому?», здесь нет — ни одно натуральное число $c$ не даёт $c\cdot 2=1$.

На практике же яблоко спокойно делят пополам — просто появляется половина, или одна вторая доля яблока. Эту долю записывают как $\tfrac12$. А если 7 яблок делят между двумя детьми, каждый получает 7 половинок, то есть $\tfrac72$ яблока от целого.

Определение. Дробь — это запись вида

$$\dfrac{m}{n},$$

где $m$ и $n$ — натуральные числа. С помощью дроби можно записать результат деления любого натурального числа на любое натуральное:

$$m:n=\dfrac{m}{n}.$$

$$\dfrac{m}{n}$$

В этой дроби число $m$ (над чертой) называется числителем, а число $n$ (под чертой) — знаменателем. Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделили целое, а числитель — сколько таких частей взяли. Черту дроби можно понимать как знак деления.

💡 Из жизни: если знаменатель — сотня, доли называют процентами: $\tfrac{1}{100}=1\%$. Так дробные числа отвечают на вопрос «сколько?» даже там, где натуральных чисел не хватает.

Правильные и неправильные дроби. Смешанное число

Определение. Если числитель дроби меньше знаменателя, дробь называют правильной — такая дробь меньше 1. Если числитель больше или равен знаменателю, дробь называют неправильной — она больше или равна 1.

Например, $\tfrac12$ — правильная дробь, а $\tfrac22$ и $\tfrac72$ — неправильные. Запись неправильной дроби в виде «целое число + дробь» называют смешанным числом (или смешанной дробью).

Разделив 7 яблок другим способом — сначала раздав каждому по целому яблоку, а последнее разрезав пополам — получим по $3+\tfrac12$, то есть $3\,\tfrac12$ яблока. Оба ответа равны: $3\,\tfrac12=\tfrac72$, и оба способа можно перевести друг в друга.

Из неправильной дроби — в смешанное число (пример: $\tfrac{39}{7}$)
1
Числитель делим на знаменатель с остатком: $39:7=5$, остаток $4$.
2
Частное $5$ становится целой частью смешанного числа.
3
Остаток $4$ — числитель дробной части, знаменатель остаётся $7$: получаем $\tfrac{39}{7}=5\,\tfrac47$.
Из смешанного числа — в неправильную дробь (пример: $3\,\tfrac12$)
1
Знаменатель умножаем на целую часть: $2\cdot3=6$.
2
К произведению прибавляем числитель дробной части: $6+1=7$.
3
Полученную сумму записываем в числитель, знаменатель оставляем без изменений: $3\,\tfrac12=\tfrac72$.

Если числитель неправильной дроби делится на знаменатель без остатка, дробь превращается в натуральное число: $\tfrac{18}{3}=18:3=6$. Проверь оба правила своими числами во вкладке «Яблоки» справа.

Дробь как координата точки числового луча

Натуральные и дробные числа можно изображать точками числового (координатного) луча: на нём выбран единичный отрезок, начало луча соответствует числу 0, а каждая точка соответствует числу, равному расстоянию от неё до начала.

Определение. Число, соответствующее точке числового луча, называется координатой этой точки.

Например, координата точки Е — число $1$, координата точки А — число $\tfrac12$, координата точки М — число $3\,\tfrac12$, а координата точки С — число $7$. Пишут: $E(1)$, $A(\tfrac12)$, $M(3\tfrac12)$, $C(7)$.

По расположению точек на луче можно сравнивать числа: большее из двух чисел лежит правее, меньшее — левее. Подвигай точку по лучу и меняй знаменатель во вкладке «Числовой луч» справа.

⚠️ Частая ошибка: думать, что чем больше знаменатель, тем больше дробь — например, будто $\tfrac18$ больше, чем $\tfrac12$, «ведь 8 больше 2». На самом деле чем на большее число частей делят целое, тем меньше каждая часть: $\tfrac18$ — это одна из восьми долей, она гораздо меньше половины. Знаменатель сам по себе не определяет, какая дробь больше — важно ещё и число долей (числитель).
🧠 Запомни:

  • $$\dfrac{m}{n}$$

    Запись деления $m:n$; $m$ — числитель, $n$ — знаменатель.
  • Числитель меньше знаменателя $\Rightarrow$ дробь правильная (меньше 1).
  • Числитель больше или равен знаменателю $\Rightarrow$ дробь неправильная (больше или равна 1).
  • Неправильную дробь можно записать смешанным числом: частное — целая часть, остаток — числитель.
  • Число, соответствующее точке числового луча, — её координата; правее — больше, левее — меньше.
← Глава 2 · §5, п.2 Определения Все темы Глава 3 · §1, п.2 → Основное свойство дроби

Двигай точку по лучу или жми кнопки — узнай координату и тип дроби

Точки из учебника:

Меняй число яблок (числитель) и число долей в яблоке (знаменатель)

Примеры из учебника:

Наведи курсор на подчёркнутые слова в тексте слева — интерактив сам переключится