Математика · 5 класс · Глава 3, §2, п.3

Умножение дробей

Откуда берётся правило: площадь прямоугольника

Из начальной школы ты знаешь формулу площади прямоугольника: $S=ab$, где $a$ и $b$ — длины сторон. Но это работало только для натуральных сторон. А если стороны дробные — например, $\tfrac25$ дм и $\tfrac34$ дм — как их перемножить, мы пока не знаем. Давайте выведем правило сами, а не просто запомним его.

Нарисуем квадрат со стороной $1$ дм. Разделим одну его сторону на $5$ равных частей, а другую — на $4$. Тогда весь квадрат разбит на $5\cdot4=20$ маленьких прямоугольников, и площадь каждого — $\tfrac1{20}$ дм². Прямоугольник со сторонами $\tfrac25$ дм и $\tfrac34$ дм (закрашенный на рисунке справа) состоит из $2\cdot3=6$ таких маленьких прямоугольников — значит, его площадь равна $\tfrac6{20}$ дм².

Как из дробей 2/5 и 3/4 получить дробь 6/20
1
Числитель $6=2\cdot3$ — это произведение числителей данных дробей.
2
Знаменатель $20=5\cdot4$ — это произведение знаменателей данных дробей.
3
Значит, $\tfrac25\cdot\tfrac34=\tfrac{2\cdot3}{5\cdot4}=\tfrac6{20}=\tfrac3{10}$.
Правило умножения дробей. Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей данных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей: $$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d},\quad a,b,c,d\in\mathbb{N}.$$

Умножение дробей, как и умножение натуральных чисел, обладает переместительным, сочетательным и распределительным свойствами — это можно доказать, опираясь на определение и свойства действий с натуральными числами.

💡 Совет. Числители и знаменатели удобно перемножать не сразу, а сначала сократить общие множители: $$\dfrac{24}{35}\cdot\dfrac{14}{9}=\dfrac{8\cdot2}{5\cdot3}=\dfrac{16}{15}=1\tfrac1{15}.$$ Попробуй сам увидеть сокращение во вкладке «Площадь» на примере $\tfrac34\cdot\tfrac23$.

Умножение дроби на натуральное число

Пекарь режет каждый батон на $9$ одинаковых кусков и продаёт по $4$ куска в одни руки. Сколько всего кусков он продаст $12$ покупателям? Понятно, что нужно $\tfrac49$ батона умножить на $12$ — то есть просто взять $\tfrac49$ батона $12$ раз.

Натуральное число $n$ — это то же самое, что дробь $\tfrac n1$, поэтому правило умножения дробей применимо и здесь: $$\dfrac{a}{b}\cdot n=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{n}{1}=\dfrac{a\cdot n}{b},\quad a,b,n\in\mathbb{N}.$$

Правило. Чтобы умножить дробь на натуральное число, числитель дроби умножают на это число, а знаменатель оставляют без изменения (на практике $n$ дробью $\tfrac n1$ не записывают, а сразу считают результат). Например: $$\dfrac49\cdot12=\dfrac{4\cdot12}{9}=\dfrac{48}{9}=5\tfrac13.$$

Проверь это правило на других примерах во вкладке «Дробь × число» справа — там видно, как $n$ одинаковых полосок $\tfrac ab$ складываются в общую закрашенную площадь.

Умножение смешанного числа на натуральное

Здесь используется распределительное свойство умножения: смешанное число раскладывают на целую и дробную части и умножают каждую часть отдельно, а результаты складывают: $$4\tfrac12\cdot9=(4+\tfrac12)\cdot9=4\cdot9+\tfrac12\cdot9=36+4\tfrac12=40\tfrac12.$$

⚠️ Частая ошибка. Некоторые ученики (как Федя из учебника) пытаются умножать смешанные числа «по аналогии» со сложением — отдельно перемножают целые части и отдельно дробные. Возьмём $1\tfrac12\cdot2\tfrac13$. «Способ Феди» даёт $(1\cdot2)+\left(\tfrac12\cdot\tfrac13\right)=2\tfrac16$. А правильный способ — перевести числа в неправильные дроби: $\tfrac32\cdot\tfrac73=\tfrac{21}{6}=3\tfrac12$. Ответы разные — значит, «правило Феди» неверно: умножение не «раскладывается» по частям смешанного числа так же просто, как сложение.

Умножение смешанных чисел

Как мы только что увидели, смешанные числа проще всего перемножать так: сначала записать оба множителя в виде неправильных дробей, а затем применить обычное правило умножения дробей.

Пример: 1 2/3 × 1 1/5
1
Переводим оба множителя в неправильные дроби: $1\tfrac23=\tfrac53$ и $1\tfrac15=\tfrac65$.
2
Перемножаем по обычному правилу: $\tfrac53\cdot\tfrac65=\tfrac{30}{15}$.
3
Сокращаем и выделяем целую часть: $\tfrac{30}{15}=2$.

Ту же схему учебник применяет и для больших чисел, например $4\tfrac27\cdot2\tfrac58=\tfrac{30}{7}\cdot\tfrac{21}{8}=\tfrac{45}{4}=11\tfrac14$. Посмотри на площадь произведения во вкладке «Смешанные» справа — там числитель неправильной дроби может быть больше знаменателя, и тогда закрашенная область выходит за пределы одного квадрата $1\times1$ и захватывает соседний.

💡 Особые случаи. Для любой дроби $\tfrac ab$ верно: $$\dfrac{a}{b}\cdot0=0\cdot\dfrac{a}{b}=0,\qquad \dfrac{a}{b}\cdot1=1\cdot\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b}.$$ Это те же самые правила, что и для умножения натуральных чисел на $0$ и на $1$.
🧠 Запомни:
  • $$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot c}{b\cdot d}$$ — числители между собой, знаменатели между собой.
  • Перед умножением стоит сократить числители и знаменатели «крест-накрест», если есть общие множители.
  • $$\dfrac{a}{b}\cdot n=\dfrac{a\cdot n}{b}$$ — умножение дроби на натуральное число.
  • Смешанные числа перед умножением переводят в неправильные дроби — «умножать по частям», как при сложении, нельзя.
← Глава 3 · §2, п.2 Сложение и вычитание смешанных чисел Все темы Глава 3 · §2, п.4 → Деление дробей

Квадрат $1\times1$ разбит на $b\times d$ клеток. Закрашенный прямоугольник — это $a$ строк из $b$ и $c$ столбцов из $d$: его площадь — искомое произведение

Каждый из $n$ одинаковых столбцов закрашен на $\tfrac ab$ — это $n$ копий дроби $\tfrac ab$, сложенные вместе

Оба смешанных числа переведены в неправильные дроби $\tfrac pb$ и $\tfrac qd$ — закрашенная площадь может выходить за пределы одного квадрата $1\times1$ в соседний

Наведи курсор на подчёркнутые слова в тексте слева — интерактив сам переключится