Математика · 5 класс · Глава 3, §2, п.2

Сложение и вычитание смешанных чисел

Сложение смешанных чисел: считаем по частям

У тебя есть $1$ целая шоколадка и ещё $\tfrac38$ второй, а друг принёс $4$ целых шоколадки и $\tfrac18$ ещё одной. Сколько шоколадки получится вместе? Проще всего сложить отдельно целые плитки ($1+4=5$), а потом — отдельно кусочки ($\tfrac38+\tfrac18=\tfrac48=\tfrac12$). Всего получится $5\tfrac12$ плитки.

Правило. Чтобы сложить смешанные числа, можно сложить отдельно их целые части и отдельно дробные части. Это следует из переместительного и сочетательного свойств сложения: $$\left(a+\dfrac{m}{n}\right)+\left(b+\dfrac{k}{n}\right)=(a+b)+\left(\dfrac{m}{n}+\dfrac{k}{n}\right).$$
Пример 1. Одинаковые знаменатели
1
$1\tfrac38+4\tfrac18=(1+4)+\left(\tfrac38+\tfrac18\right)=5+\tfrac48=5\tfrac12$

Если знаменатели дробных частей разные, их сначала приводят к общему знаменателю — так же, как мы уже делали при сложении обычных дробей (см. §2, п.1).

Пример 2. Дробная часть суммы — неправильная дробь
2
Знаменатели уже приведены к $12$: $3\tfrac{10}{12}+2\tfrac{11}{12}=5+\tfrac{21}{12}$
3
Дробная часть $\tfrac{21}{12}$ больше единицы — выделяем из неё целую часть: $\tfrac{21}{12}=1\tfrac{9}{12}$.
4
Эту «лишнюю» единицу переносим (прибавляем) к целой части суммы: $5+1\tfrac{9}{12}=6\tfrac{9}{12}=6\tfrac34$.

Если одно из чисел натуральное (без дробной части), правило работает так же: $2\tfrac35+7=9\tfrac35$.

🧠 Итак, чтобы сложить смешанные числа, нужно:
  1. привести дробные части к наименьшему общему знаменателю;
  2. сложить отдельно целые и отдельно дробные части;
  3. если нужно, сократить дробную часть;
  4. если дробная часть суммы оказалась неправильной дробью — выделить из неё целую часть и прибавить к целой части суммы.

Проверь оба примера во вкладке «Сложение» справа — переключай примеры и смотри, как дробная часть иногда «переполняется» и превращается в дополнительную целую.

Вычитание смешанных чисел и «занятие» единицы

У тебя целая пицца и ещё $\tfrac58$ второй, то есть $5$ кусочков из $8$. Друг просит отдать ему $\tfrac78$ пиццы — целых $7$ кусочков. Своих кусочков не хватает: $5$ меньше $7$! Тогда ты берёшь ещё одну целую пиццу и режешь её на такие же $8$ частей: теперь у тебя $5+8=13$ кусочков этого размера. Из них спокойно отдаёшь $7$: остаётся $13-7=6$ кусочков, то есть $\tfrac68=\tfrac34$. А целых пицц у тебя было $3$, стало на одну меньше — $2$. Итог: $2\tfrac34$ пиццы.

Правило «занятия» единицы. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, одну единицу целой части превращают в дробь $\tfrac{n}{n}$ и прибавляют к дробной части, а целую часть уменьшают на $1$: $$a+\dfrac{m}{n}=(a-1)+\left(1+\dfrac{m}{n}\right)=(a-1)+\dfrac{n+m}{n}.$$
Пример 1. Дробная часть вычитается без «занятия»
1
$4\tfrac{9}{11}-2\tfrac{6}{11}=(4-2)+\left(\tfrac{9}{11}-\tfrac{6}{11}\right)=2\tfrac{3}{11}$ — целых и дробных частей хватает, «занимать» не нужно.
Пример 2. Нужно «занять» единицу
2
В $3\tfrac58-\tfrac78$ дробная часть уменьшаемого $\tfrac58$ меньше $\tfrac78$ — напрямую вычесть нельзя.
3
Занимаем единицу: $3\tfrac58=2+1\tfrac58=2\tfrac{13}{8}$.
4
Теперь вычитаем как обычно: $2\tfrac{13}{8}-\tfrac78=2\tfrac68=2\tfrac34$.

Тот же приём работает и когда уменьшаемое — целое натуральное число: $11-2\tfrac67=10\tfrac77-2\tfrac67=8\tfrac17$.

🧠 Итак, чтобы вычесть смешанные числа, нужно:
  1. привести дробные части к наименьшему общему знаменателю;
  2. если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого — «занять» единицу из целой части;
  3. вычесть отдельно целые и отдельно дробные части;
  4. если нужно, сократить дробную часть.
⚠️ Частая ошибка. Видя, что $\tfrac58$ меньше $\tfrac78$, некоторые просто меняют числители местами и вычитают «наоборот» — $\tfrac78-\tfrac58=\tfrac28$, забывая при этом уменьшить целую часть. Получается неверный ответ $3\tfrac28$ вместо правильного $2\tfrac34$. Если дробная часть уменьшаемого меньше — единицу нужно именно «занять» из целой части, а не переставлять числа местами.

Проверь оба примера во вкладке «Вычитание» справа — там видно, как одна целая «распадается» на дробные доли, когда своих кусочков не хватает.

Проверка вычитанием и сложением — взаимно обратные действия

Сложение и вычитание — взаимно обратные действия: если $a-b=c$, то обязательно $c+b=a$. Это удобно использовать для проверки: сложив полученную разность с вычитаемым, должны снова получить исходное уменьшаемое.

💡 Проверка примера 2 (Пример 2 из вычитания). Мы получили $3\tfrac58-\tfrac78=2\tfrac34$. Проверим сложением: $2\tfrac34+\tfrac78=2\tfrac68+\tfrac78=2\tfrac{13}{8}=3\tfrac58$ — совпало с уменьшаемым, значит вычитание выполнено верно.

По тем же правилам, что и для сложения дробей (§2, п.1), при сложении и вычитании смешанных чисел можно переставлять слагаемые местами и группировать «удобные» пары — например, сначала складывать числа с одинаковыми знаменателями, а уже потом — остальные.

🧠 Запомни:
  • Сложение: целые + целые, дробные + дробные; если дробная часть суммы $\ge 1$ — выделяем целую и переносим её в целую часть.
  • Вычитание: если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого — «занимаем» единицу ($1=\tfrac{n}{n}$) и добавляем её к дробной части, а целую часть уменьшаем на $1$.
  • Сложение и вычитание — взаимно обратные действия: результат вычитания всегда можно проверить сложением.
← Глава 3 · §2, п.1 Сложение и вычитание дробей Все темы Глава 3 · §2, п.3 → Умножение дробей

Целая часть — в квадратной рамке, дробная часть — на полоске. Если дробные части при сложении «переполняют» полоску — лишняя единица переходит в целую часть

Если дробной части уменьшаемого не хватает — одна целая «распадается» на такие же доли (пунктирная фиолетовая часть) и добавляется к полоске

Наведи курсор на подчёркнутые слова в тексте слева — интерактив сам переключится