Производительность — часть работы за единицу времени
Однажды учитель предложил ученикам решить старинную задачу из математической рукописи
XVII века: «Два плотника рядились двор ставить. И говорит первый: — Только бы мне одному
двор ставить, то я бы поставил в 3 года. А другой молвил: — Я бы поставил его в шесть лет.
Оба решили сообща ставить двор. Сколь долго они ставили двор?»
Мнения разделились. Одни решили, что вместе плотники построят дом за $3+6=9$ лет. Другие
возражали: вместе должно получаться быстрее, а не дольше, чем у каждого поодиночке.
Значит, время совместной работы точно меньше трёх лет. Но как его найти?
Задача о плотниках
1
Первый плотник строит весь двор за 3 года — значит, за 1 год он выполняет $\tfrac13$
двора. Такую часть работы, которую участник делает за единицу времени, называют
производительностью и обозначают буквой $p$.
2
Второй плотник строит весь двор за 6 лет — его производительность $\tfrac16$ двора
за год.
3
Вместе за 1 год плотники построят $\tfrac13+\tfrac16=\tfrac12$ двора. При совместной
работе складываются не времена, а производительности участников!
4
Чтобы найти общее время $T$, нужно узнать, сколько раз по $\tfrac12$ содержится
в целом дворе: $T=1:\tfrac12=2$ (года).
Определение. Вся работа принимается за единицу. Часть работы, выполненная
за единицу времени (производительность), находится по формуле $p=1:T$, где $T$ — время,
за которое работа выполняется полностью. Тогда $T=1:p$.
💡 Из жизни: представь, что ванна наполняется двумя кранами. Один кран сам
по себе наполнил бы ванну за 20 минут, второй — за 30 минут. Открывая оба крана сразу, ты
не складываешь минуты (не получаешь 50 минут) — ты складываешь ту часть ванны, которую
каждый кран наполняет за 1 минуту, и находишь общее время по этой сумме.
⚠️ Частая ошибка. Складывать время работы участников (как в споре
учеников: $3+6=9$ лет). На самом деле при совместной работе складываются
производительности (части работы за единицу времени), а время находится
уже по их сумме через $T=1:p$ — и оно всегда меньше, чем время самого быстрого участника
поодиночке.
Бассейн с тремя трубами
Задача 1. В городе
есть искусственный водоём. Одна из труб может заполнить его за 4 ч, вторая — за 8 ч,
а третья — за 24 ч. За сколько времени наполнится водоём, если открыть сразу 3 трубы?
1
$1:4=\tfrac14$ (водоёма) — наполнится через I трубу за 1 час.
2
$1:8=\tfrac18$ (водоёма) — наполнится через II трубу за 1 час.
3
$1:24=\tfrac{1}{24}$ (водоёма) — наполнится через III трубу за 1 час.
4
$\tfrac14+\tfrac18+\tfrac1{24}=\tfrac{6+3+1}{24}=\tfrac{10}{24}=\tfrac{5}{12}$ (водоёма)
— наполнится через 3 трубы вместе за 1 час.
5
$1:\tfrac{5}{12}=1\cdot\tfrac{12}{5}=2\tfrac25$ (ч)
— столько времени нужно, чтобы заполнить водоём тремя трубами сразу.
Ответ: через 3 трубы, работающие одновременно, водоём наполнится за $2\tfrac25$ ч.
Задачи на встречное движение — тоже «совместная работа»
Иногда никто ничего не «работает» в привычном смысле, но задача устроена точно так же.
Это происходит с пешеходами, велосипедистами и машинами, которые движутся навстречу друг
другу — весь путь принимается за «единицу», а часть пути, пройденную за час, считают,
как производительность.
Задача 2. Два
пешехода вышли одновременно из двух посёлков навстречу друг другу. Один пешеход может
пройти весь путь за 3 ч, а другой — за $4\tfrac12$ ч. Через сколько времени они встретятся?
1
$1:3=\tfrac13$ (расстояния) — проходит I пешеход за 1 ч.
2
$1:4\tfrac12=1:\tfrac92=1\cdot\tfrac29=\tfrac29$ (расстояния) — проходит II пешеход
за 1 ч.
3
$\tfrac13+\tfrac29=\tfrac{3+2}{9}=\tfrac59$ (расстояния) — сближаются оба пешехода
за 1 ч.
4
$1:\tfrac59=1\cdot\tfrac95=\tfrac95=1\tfrac45$ (ч)
— время до встречи.
Ответ: пешеходы встретятся через $1\tfrac45$ ч.
Обратная задача: находим неизвестного участника
Иногда известна не производительность каждого по отдельности, а только общая скорость
совместной работы и производительность одного из участников. Тогда производительность
второго находят вычитанием.
Задача 3. Бассейн
заполняется через 2 трубы за $3\tfrac13$ ч. Если открыть одну первую трубу, то бассейн
наполнится за 6 ч. За сколько времени наполнится бассейн через одну вторую трубу?
1
$1:6=\tfrac16$ (бассейна) — наполнится
через I трубу за 1 час.
2
$1:3\tfrac13=1:\tfrac{10}{3}=1\cdot\tfrac{3}{10}=\tfrac{3}{10}$
(бассейна) — наполнится через обе трубы вместе за 1 час.
3
$\tfrac{3}{10}-\tfrac16=\tfrac{9-5}{30}=\tfrac{4}{30}=\tfrac{2}{15}$
(бассейна) — наполнится через II трубу за 1 час.
4
$1:\tfrac{2}{15}=1\cdot\tfrac{15}{2}=\tfrac{15}{2}=7\tfrac12$ (ч)
— время работы II трубы одной.
Ответ: бассейн наполнится через одну вторую трубу за $7\tfrac12$ ч.
🧠
Запомни:
- Производительность $p=1:T$ — часть работы за единицу времени; время $T=1:p$.
- При совместной работе складываются производительности, а не время.
- Общее время всегда меньше времени самого быстрого участника поодиночке — это удобная
проверка ответа.
- Встречное движение — та же схема: «работа» = пройденный путь, весь путь = единица.
- Если известна общая производительность и производительность одного участника, то
производительность другого находят вычитанием.