Математика · 5 класс · Глава 4, §1, п.1

Новая запись чисел

Зачем понадобилась новая запись дробей

С натуральными числами повезло: почти весь мир записывает их одинаково — в десятичной позиционной системе, где значение цифры зависит от её места в записи. А вот с дробями долго было иначе. Дроби возникают при делении предмета на равные части, а частей может быть сколько угодно — поэтому дроби писали с самыми разными знаменателями: $\tfrac13$, $\tfrac58$, $\tfrac{29}{56}$. Вычислять с такими дробями было настолько сложно, что в Древнем Египте это умели только жрецы — самые образованные люди своего времени.

Около шести веков назад учёный аль-Каши из Самарканда придумал способ записи, который резко упростил вычисления: он предложил рассматривать только дроби со знаменателями $10$, $100$, $1000$ и так далее. Позже, независимо от него, этот же способ в Европе изобрёл голландец Симон Стевин. Такие дроби стали записывать в строчку и называть десятичными, а прежние дроби с любыми знаменателями — обыкновенными.

Определение. Десятичная дробь — это дробь со знаменателем вида $10^n$ ($n\in\mathbb{N}$), записанная без черты дроби: целая часть отделяется от дробной запятой. Точнее было бы говорить не о новом виде дробей, а о новом, более удобном способе записи тех же самых дробей.

Читают десятичные дроби так же, как обыкновенные, но обязательно называют число целых (даже если целых «ноль»):

$\tfrac{3}{10}=0{,}3$ (ноль целых три десятых)  ·  $2\tfrac{47}{100}=2{,}47$ (две целых 47 сотых)

$\tfrac{156}{1000}=0{,}156$ (ноль целых 156 тысячных)  ·  $5\tfrac{2309}{10000}=5{,}2309$ (пять целых 2309 десятитысячных)

💡 Из жизни: ты каждый день видишь десятичные дроби, даже не замечая этого. Цена на чеке $199{,}90$ ₽ — это $199\tfrac{90}{100}$ рубля. На кодовом замке подъезда вместо квартиры №18 иногда набирают «0018» — ноль в начале не меняет числа, точно так же как в десятичных дробях можно дописывать нули после последней значащей цифры дробной части.

Как перевести дробь в десятичную запись

Чтобы записать обыкновенную дробь со знаменателем $10^n$ в виде десятичной, действуют по алгоритму:

1
Выделяют целую часть дроби и записывают её (если она есть).
2
Уравнивают число цифр в числителе с числом нулей в знаменателе — если цифр не хватает, дописывают нули слева, значение дроби от этого не меняется: $72=072=0072=\ldots$
3
Ставят запятую, отделяющую целую часть от дробной.
4
Записывают числитель дробной части.

Например, дробь $3\tfrac{72}{10000}$ нужно записать в виде десятичной. В знаменателе четыре нуля, а в числителе дробной части только две цифры — значит, дописываем два нуля слева: $\tfrac{72}{10000}=\tfrac{0072}{10000}$. Получаем $3\tfrac{72}{10000}=3{,}0072$.

⚠️ Частая ошибка. Число цифр после запятой всегда равно числу нулей в знаменателе — а не числу цифр в числителе. Если в числителе цифр меньше, чем нулей в знаменателе, недостающие нули обязательно дописываются слева от числителя (а не справа!): $\tfrac{72}{10000}$ — это не $3{,}72$, а $3{,}0072$, потому что в знаменателе четыре нуля.

Разрядная таблица — новые разряды

Способ записи десятичных дробей — это естественное продолжение десятичной позиционной системы для натуральных чисел. Только теперь появляются новые разряды — справа от запятой:

$\tfrac1{10}=0{,}1$ — десятые  ·  $\tfrac1{100}=0{,}01$ — сотые  ·  $\tfrac1{1000}=0{,}001$ — тысячные

Каждая цифра в записи десятичной дроби показывает, сколько единиц соответствующего разряда в ней содержится. Разберём число $5{,}627$:

Разложение по разрядам
1
$5$ — целых единиц.
2
$6$ — десятых, то есть $\tfrac{6}{10}$.
3
$2$ — сотых, то есть $\tfrac{2}{100}$.
4
$7$ — тысячных, то есть $\tfrac{7}{1000}$.

$5{,}627=5+\tfrac{6}{10}+\tfrac{2}{100}+\tfrac{7}{1000}=5\tfrac{627}{1000}$

Как и у натуральных чисел, здесь действуют два правила позиционной записи: значение цифры зависит от её места, а единица каждого разряда содержит 10 единиц соседнего справа разряда (одна десятая — это 10 сотых, одна сотая — 10 тысячных).

Именно благодаря десятичным дробям появилась единая метрическая система мер: $1\text{ дм}=0{,}1\text{ м}$, $1\text{ см}=0{,}01\text{ м}$, $1\text{ мм}=0{,}001\text{ м}$, а копейка составляет $0{,}01$ рубля.

🧠 Запомни:
  • Десятичная дробь — это дробь со знаменателем $10^n$, записанная без черты дроби, через запятую.
  • Число знаков после запятой равно числу нулей в знаменателе обыкновенной дроби.
  • Если цифр в числителе не хватает, недостающие нули дописывают слева.
  • Нули, дописанные справа после последней значащей цифры, значения дроби не меняют: $0{,}7=0{,}70=0{,}700$.
  • Первая цифра после запятой — десятые, вторая — сотые, третья — тысячные и т. д.
← Глава 3 · §2, п.8 Задачи на совместную работу Все темы Глава 4 · §1, п.2 → Десятичные и обыкновенные дроби

Разрядная таблица. Наведи курсор на подчёркнутые числа слева или нажимай стрелки у разрядов — число справа и запись дроби меняются

Наведи курсор на подчёркнутые слова в тексте слева — таблица разрядов сама подстроится