Курс 5 класса подходит к концу. В конце главы «Десятичные дроби» учебник собирает
задачи на повторение всего года — делимость чисел, обыкновенные
и десятичные дроби, уравнения, проценты, задачи на движение. Здесь разобраны
пять представительных задач из этого раздела — по одной на каждую
крупную тему курса. Наведи курсор на подчёркнутый номер задачи — интерактив справа
покажет её решение по шагам.
№1146 · Делимость натуральных чисел
Докажи или опровергни высказывание
Задача №1146 просит проверить несколько
утверждений о делимости. Разберём три из них:
Каждый элемент множества $A=\{2,4,6,10,24,60\}$ является делителем числа $240$.
Сумма любых двух нечётных чисел и одного чётного числа есть число чётное.
Существуют двузначные делители числа $8$.
1
Проверяем первое утверждение прямым делением: $240:2{=}120$, $240:4{=}60$,
$240:6{=}40$, $240:10{=}24$, $240:24{=}10$, $240:60{=}4$ — все шесть делятся без
остатка. Утверждение верно.
2
Любое нечётное число можно записать как $2k{+}1$. Тогда сумма двух нечётных
и одного чётного: $(2k{+}1)+(2m{+}1)+2n=2(k{+}m{+}n{+}1)$ — а это заведомо чётное
число (множитель $2$ вынесен явно). Утверждение верно.
3
Все делители числа $8$: $1,\ 2,\ 4,\ 8$ — каждый из них однозначный.
Двузначных делителей у $8$ нет. Утверждение ложно.
⚠️ Частая ошибка. Опровергнуть общее утверждение можно
одним контрпримером — не нужно перебирать все случаи. А вот доказать
общее утверждение одним примером нельзя — здесь нужно рассуждение
для «любого» числа (как в пункте 2, с буквенной записью).
№1152(1) · Дроби
Действия с дробями, где вместо числа — буква
Задача №1152 просит выполнить действия
с дробями, зная, что вместо числа стоит буква (значения которой — натуральные числа).
Найдём $\tfrac{5a}{16}-\tfrac{a}{24}$.
Правило. Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями — приведи их
к общему знаменателю (удобнее всего взять $\text{НОК}$ знаменателей), а затем вычти
числители.
1
Раскладываем знаменатели на множители: $16=2^4$, $24=2^3\cdot 3$. Общий
знаменатель — $\text{НОК}(16,24)=2^4\cdot 3=48$.
2
Дополнительный множитель для первой дроби $48:16=3$, поэтому
$\tfrac{5a}{16}=\tfrac{5a\cdot 3}{48}=\tfrac{15a}{48}$.
3
Дополнительный множитель для второй дроби $48:24=2$, поэтому
$\tfrac{a}{24}=\tfrac{a\cdot 2}{48}=\tfrac{2a}{48}$.
4
Вычитаем числители при общем знаменателе: $\tfrac{15a}{48}-\tfrac{2a}{48}
=\tfrac{13a}{48}$. Дробь $\tfrac{13a}{48}$ уже несократима, потому что $13$ —
простое число, которое не делит $48$.
№1157(1) · Уравнения с десятичными дробями
Реши уравнение по действиям
Задача №1157 — уравнение
$53{,}76:(4{,}248-1{,}56x)+3{,}8=55$. Решаем его так же, как и обычное уравнение
с натуральными числами: находим неизвестный компонент действия, двигаясь от внешнего
действия к внутреннему.
1
Слева — сумма, неизвестное слагаемое $53{,}76:(4{,}248-1{,}56x)$: чтобы найти
его, из суммы вычитаем известное слагаемое: $55-3{,}8=51{,}2$.
2
Теперь $53{,}76:(4{,}248-1{,}56x)=51{,}2$ — это частное, неизвестный делитель
находим делением делимого на частное: $53{,}76:51{,}2=1{,}05$.
3
$4{,}248-1{,}56x=1{,}05$ — неизвестное вычитаемое находим вычитанием разности
из уменьшаемого: $4{,}248-1{,}05=3{,}198$.
4
$1{,}56x=3{,}198$ — неизвестный множитель находим делением произведения на
известный множитель: $x=3{,}198:1{,}56=2{,}05$.
⚠️ Частая ошибка. При переносе запятой во время деления десятичных
дробей (шаг 2 и шаг 4) переносить её только в одном из чисел. Запомни: запятая
сдвигается на одинаковое число цифр в обоих числах сразу.
№1160(1) · Проценты и доли
Составь выражение по условию
Задача №1160: в автобусе едут $a$ человек
(мужчины и женщины), причём $0{,}6$ числа всех пассажиров — женщины. Сколько в автобусе
мужчин, если $a=25$?
💡 Из жизни: $0{,}6$ от количества пассажиров — это то же самое, что
«60% пассажиров». Найти долю от числа — значит умножить число на эту дробь.
1
Женщин — $0{,}6$ от всех пассажиров: $0{,}6\cdot 25=15$ (человек).
2
Мужчины — это остаток: $25-15=10$ (человек). Ответ можно найти и напрямую, как
долю $1-0{,}6=0{,}4$ от всех: $0{,}4\cdot 25=10$ — получаем то же самое число.
№1162 · Движение навстречу
Задача на встречное движение
Задача №1162: расстояние от метро до аэропорта
маршрутное такси проезжает за треть часа, а рейсовый автобус — за полчаса. Через сколько
времени они встретятся, если выедут одновременно навстречу друг другу?
Это та же идея, что и в задачах на совместную работу: если всё расстояние $S$
принять за «единицу», то за час такси проезжает $S:\tfrac13=3S$, а автобус —
$S:\tfrac12=2S$.
1
Скорость такси: $S:\tfrac13=3S$ (в час). Скорость автобуса: $S:\tfrac12=2S$
(в час).
2
При встречном движении скорости складываются — скорость сближения:
$3S+2S=5S$ в час.
3
Всё расстояние между ними — $S$, поэтому время до встречи:
$S:5S=\tfrac15$ часа $=12$ минут.
🧠 Запомни: при движении навстречу друг другу время до встречи —
это расстояние, делённое на сумму скоростей (а не на скорость
одного из них).
Итог курса 5 класса
За год пройден большой путь — от математического языка и высказываний до десятичных
дробей и уравнений с ними:
Глава 1. Математический язык, математические модели, метод перебора.
Глава 2. Делимость натуральных чисел: делители, кратные, НОД, НОК,
признаки делимости, разложение на простые множители.
Глава 3. Обыкновенные дроби: сравнение, сложение, вычитание,
умножение, деление, задачи на дроби и совместную работу.
Глава 4. Десятичные дроби: запись, сравнение, округление, все
четыре действия и решение уравнений.
🧠 Запомни: почти любая итоговая задача — это комбинация всего
нескольких приёмов: привести дроби к общему знаменателю, действовать «по компонентам»
в уравнении, находить долю числа умножением на дробь. Разбирая задачу, всегда
спрашивай себя — какое из уже знакомых правил здесь работает?