Умножение десятичных дробей легко сводится к умножению натуральных чисел. С делением
дело обстоит сложнее: может оказаться, что частное двух десятичных дробей вообще нельзя
записать в виде конечной десятичной дроби. Но принцип у деления десятичных дробей тот же,
что и у натуральных чисел — поразрядно: сначала делятся старшие разряды,
а затем, разряд за разрядом, — младшие.
Рассмотрим сначала простейший случай — деление десятичной дроби на
натуральное число. Разделим $9{,}5:4$.
Сначала делим $9$ целых, затем оставшиеся единицы раздробляем в десятые доли, потом
в сотые и т. д. Если цифр после запятой не хватает — справа всегда можно дописать нули.
Правило. Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число:
Выполнить деление целой части.
Поставить в частном запятую.
Продолжить деление, не обращая внимания на запятую, дописывая в делимом после
запятой столько нулей, сколько потребуется.
💡 Из жизни: $9{,}5$ кг конфет нужно поровну разложить в $4$ пакета.
Сначала делишь целые килограммы, а то, что не разделилось нацело — «превращаешь»
в более мелкие доли (сотые, тысячные) и делишь дальше, пока не разделишь без остатка
или пока не хватит точности.
Деление на десятичную дробь — перенос запятой
А что делать, если делитель тоже дробный? Этот случай легко свести к уже знакомому —
делению на натуральное число. Найдём частное
$0{,}3105:1{,}5$. Заменим знак деления дробной чертой
и применим основное свойство дроби — домножим числитель и знаменатель на $10$, чтобы
избавиться от запятой в делителе:
Теперь это деление дроби на натуральное число по уже известному правилу:
$3{,}105:15=0{,}207$.
Правило. Чтобы разделить число на десятичную дробь:
Перенести в делимом и в делителе запятую вправо на столько цифр,
сколько их после запятой в делителе (при нехватке цифр — дописать нули).
Выполнить деление на натуральное число.
1
Посчитать, сколько цифр стоит после запятой у делителя — это число сдвигов.
2
Перенести запятую на это число цифр вправо в обоих числах —
и в делимом, и в делителе (делитель станет натуральным числом).
3
Разделить получившиеся числа по правилу деления на натуральное число.
⚠️ Частая ошибка. Переносить запятую только в делителе, забывая
перенести её на столько же цифр в делимом (или наоборот). Например, в
$0{,}3105:1{,}5$ по ошибке считают
$0{,}3105:15$ вместо верного $3{,}105:15$ — и ответ получается в $10$ раз меньше
правильного. Запомни: запятую двигают в обоих числах на одинаковое
число цифр — иначе величина частного изменится.
Когда частное — бесконечная дробь
Не всякое частное десятичных дробей удаётся записать конечной десятичной дробью.
Найдём частное $0{,}8:0{,}6$:
$0{,}8:0{,}6=8:6=1{,}3333\ldots$
Сколько бы мы ни продолжали деление, в частном снова и снова будет получаться цифра
$3$ — остаток каждый раз равен $2$, поэтому процесс деления никогда не заканчивается.
Это существенно отличает арифметику десятичных дробей от арифметики обыкновенных: точное
значение $\tfrac{4}{3}$ просто нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.
💡 Из жизни: так же «вычисляет» и калькулятор. При делении $0{,}2:0{,}3$
на калькуляторе с десятью разрядами получится $0{,}666666667$ — это лишь
приближённое значение, округлённое до девяти цифр после запятой.
Поскольку измерения на практике и так приближённые (с точностью до см, до грамма и т. д.),
результат деления в жизни почти всегда приходится округлять.
Где это применяется
Пример (число $\pi$). Ещё Архимед установил, что отношение длины
окружности $C$ к её диаметру $D$ — величина постоянная, примерно равная дроби
$22:7$. Выполним это деление:
$22:7=3{,}142857142857\ldots$
Частное снова бесконечное — цифры $142857$ повторяются в нём одна и та же группа за
группой. На практике это число округляют до сотых: $\pi\approx 3{,}14$, и пользуются
приближённым равенством $C\approx 3{,}14\cdot D$ для вычисления длины окружности.
🧠 Запомни:
Делить десятичную дробь на натуральное число можно «в столбик», как обычно —
только не забыть поставить запятую в частном сразу после деления целой части.
Чтобы разделить на десятичную дробь — перенеси запятую вправо на одинаковое
число цифр в делимом и в делителе, пока делитель не станет натуральным числом.
Частное не всегда конечная десятичная дробь: иногда цифры в нём повторяются
бесконечно — тогда результат округляют с нужной точностью.