Деление десятичных дробей

Деление на натуральное число

Умножение десятичных дробей легко сводится к умножению натуральных чисел. С делением дело обстоит сложнее: может оказаться, что частное двух десятичных дробей вообще нельзя записать в виде конечной десятичной дроби. Но принцип у деления десятичных дробей тот же, что и у натуральных чисел — поразрядно: сначала делятся старшие разряды, а затем, разряд за разрядом, — младшие.

Рассмотрим сначала простейший случай — деление десятичной дроби на натуральное число. Разделим $9{,}5:4$. Сначала делим $9$ целых, затем оставшиеся единицы раздробляем в десятые доли, потом в сотые и т. д. Если цифр после запятой не хватает — справа всегда можно дописать нули.

Правило. Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число:

Выполнить деление целой части.
Поставить в частном запятую.
Продолжить деление, не обращая внимания на запятую, дописывая в делимом после запятой столько нулей, сколько потребуется.

          💡 Из жизни: $9{,}5$ кг конфет нужно поровну разложить в $4$ пакета.
          Сначала делишь целые килограммы, а то, что не разделилось нацело — «превращаешь»
          в более мелкие доли (сотые, тысячные) и делишь дальше, пока не разделишь без остатка
          или пока не хватит точности.
        

Деление на десятичную дробь — перенос запятой

А что делать, если делитель тоже дробный? Этот случай легко свести к уже знакомому — делению на натуральное число. Найдём частное $0{,}3105:1{,}5$. Заменим знак деления дробной чертой и применим основное свойство дроби — домножим числитель и знаменатель на $10$, чтобы избавиться от запятой в делителе:

$0{,}3105:1{,}5=\tfrac{0{,}3105}{1{,}5}=\tfrac{0{,}3105\cdot 10}{1{,}5\cdot 10}=\tfrac{3{,}105}{15}=3{,}105:15$

Теперь это деление дроби на натуральное число по уже известному правилу: $3{,}105:15=0{,}207$.

Правило. Чтобы разделить число на десятичную дробь:

Перенести в делимом и в делителе запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе (при нехватке цифр — дописать нули).
Выполнить деление на натуральное число.

1

Посчитать, сколько цифр стоит после запятой у делителя — это число сдвигов.

2

Перенести запятую на это число цифр вправо в обоих числах — и в делимом, и в делителе (делитель станет натуральным числом).

3

Разделить получившиеся числа по правилу деления на натуральное число.

⚠️ Частая ошибка. Переносить запятую только в делителе, забывая перенести её на столько же цифр в делимом (или наоборот). Например, в $0{,}3105:1{,}5$ по ошибке считают $0{,}3105:15$ вместо верного $3{,}105:15$ — и ответ получается в $10$ раз меньше правильного. Запомни: запятую двигают в обоих числах на одинаковое число цифр — иначе величина частного изменится.

Когда частное — бесконечная дробь

Не всякое частное десятичных дробей удаётся записать конечной десятичной дробью. Найдём частное $0{,}8:0{,}6$:

$0{,}8:0{,}6=8:6=1{,}3333\ldots$

Сколько бы мы ни продолжали деление, в частном снова и снова будет получаться цифра $3$ — остаток каждый раз равен $2$, поэтому процесс деления никогда не заканчивается. Это существенно отличает арифметику десятичных дробей от арифметики обыкновенных: точное значение $\tfrac{4}{3}$ просто нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.

          💡 Из жизни: так же «вычисляет» и калькулятор. При делении $0{,}2:0{,}3$
          на калькуляторе с десятью разрядами получится $0{,}666666667$ — это лишь
          приближённое значение, округлённое до девяти цифр после запятой.
          Поскольку измерения на практике и так приближённые (с точностью до см, до грамма и т. д.),
          результат деления в жизни почти всегда приходится округлять.
        

Где это применяется

Пример (число $\pi$). Ещё Архимед установил, что отношение длины окружности $C$ к её диаметру $D$ — величина постоянная, примерно равная дроби $22:7$. Выполним это деление:

$22:7=3{,}142857142857\ldots$

Частное снова бесконечное — цифры $142857$ повторяются в нём одна и та же группа за группой. На практике это число округляют до сотых: $\pi\approx 3{,}14$, и пользуются приближённым равенством $C\approx 3{,}14\cdot D$ для вычисления длины окружности.

🧠 Запомни:

Делить десятичную дробь на натуральное число можно «в столбик», как обычно — только не забыть поставить запятую в частном сразу после деления целой части.
Чтобы разделить на десятичную дробь — перенеси запятую вправо на одинаковое число цифр в делимом и в делителе, пока делитель не станет натуральным числом.
Частное не всегда конечная десятичная дробь: иногда цифры в нём повторяются бесконечно — тогда результат округляют с нужной точностью.

Деление на натуральное число

Деление на десятичную дробь — перенос запятой

Когда частное — бесконечная дробь

Где это применяется

Закрепи в практике