Зачем переставлять члены пропорции
Мы уже знаем основное свойство пропорции: равенство $\tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d}$
(где $a,b,c,d \neq 0$) является пропорцией тогда и только тогда, когда
$$a\cdot d = b\cdot c,$$
то есть произведение крайних членов равно произведению средних. Это то же самое «перекрёстное»
правило равенства дробей, только названное на языке пропорций.
💡 Из жизни: представь весы в равновесии: на одной чаше — $a$ и $d$, на другой —
$b$ и $c$, причём равновесие держится потому, что $a\cdot d = b\cdot c$. Если переставить гирьки
по определённому правилу, весы останутся в равновесии — просто числа встанут на новые места.
Так же и с пропорцией: из одной верной пропорции можно получить несколько других верных
пропорций, переставив её члены.
Справа — интерактивная схема. Переключай вкладки с видами перестановок и смотри, как меняются
местами числа $a,b,c,d$, оставаясь той же самой истинной пропорцией.
Перестановка крайних и средних членов
Возьмём пропорцию $\tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d} \iff a\cdot d = b\cdot c$. Это равенство не
нарушится, если поменять местами множители $a$ и $d$ — от перестановки множителей произведение
не меняется. Значит:
1) Перестановка крайних членов.
В пропорции можно поменять местами её крайние члены:
$$a:b=c:d \iff d:b=c:a.$$
Точно так же произведение $b\cdot c$ не изменится, если поменять местами $b$ и $c$:
2) Перестановка средних членов.
В пропорции можно поменять местами её средние члены:
$$a:b=c:d \iff a:c=b:d.$$
Обе перестановки можно проверить одним и тем же способом — перекрёстным правилом. Если после
перестановки произведение крайних снова равно произведению средних, значит новая запись —
тоже верная пропорция.
Обратные отношения
Если поменять местами сразу и крайние, и средние члены, получится пропорция,
составленная из обратных отношений:
3) Обратные отношения.
Пропорция не нарушится, если каждое отношение заменить обратным:
$$a:b=c:d \iff b:a=d:c.$$
Кроме этого, у любой из полученных пропорций можно поменять местами левую и правую часть
равенства — это тоже не нарушает пропорцию, ведь равенство $x=y$ и равенство $y=x$ означают
одно и то же.
⚠️ Частая ошибка. Члены пропорции нельзя переставлять как попало — только по
разрешённым правилам. Например, из верной пропорции $\tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{6}$ нельзя просто
перевернуть одну дробь: $\tfrac{3}{2} \neq \tfrac{4}{6}$. Чтобы не ошибиться — после любой
перестановки всегда проверяй результат перекрёстным правилом: перемножь новые крайние и новые
средние, произведения должны совпасть.
Производные пропорции
Есть и менее очевидное преобразование: пропорция не нарушится, если к каждому крайнему члену
прибавить «соседний» средний член.
4) Производная пропорция (сумма).
Прибавим к каждому крайнему члену соседний средний:
$$a:b=c:d \iff (a+b):b=(c+d):d.$$
Доказать это легко — достаточно прибавить по единице к обеим частям исходного равенства:
1
$\tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d} \iff \tfrac{a}{b} + 1 = \tfrac{c}{d} + 1$
2
Слева $\tfrac{a}{b}+1 = \tfrac{a+b}{b}$, справа $\tfrac{c}{d}+1 = \tfrac{c+d}{d}$ — получаем
$\tfrac{a+b}{b} = \tfrac{c+d}{d}$.
Аналогично доказывается похожее свойство с разностью (при $a>b$ и $c>d$):
5) Производная пропорция (разность).
Вычтем из каждого крайнего члена соседний средний:
$$a:b=c:d \iff (a-b):b=(c-d):d, \qquad (a>b,\; c>d).$$
Пропорции, полученные такими преобразованиями исходной, называют
производными пропорциями. Они часто упрощают вычисления в задачах.
Пример: путь и время при равномерном движении
При равномерном движении скорость не меняется, поэтому отношения пути и времени образуют
пропорцию:
$$\frac{s_1}{t_1} = \frac{s_2}{t_2}.$$
1
Переставим крайние члены: $\tfrac{s_1}{t_1} = \tfrac{s_2}{t_2} \iff t_2:t_1 = s_2:s_1$.
2
Поменяем местами части равенства: $\tfrac{s_2}{s_1} = \tfrac{t_2}{t_1}$.
💡 Вывод без вычислений: раз $\tfrac{s_2}{s_1} = \tfrac{t_2}{t_1}$, то путь и время
меняются во столько же раз. Если время движения увеличить в $4$ раза, а скорость не менять,
то и пройденный путь увеличится ровно в $4$ раза — считать ничего не нужно, это следует прямо
из производной пропорции.
🧠 Запомни: из пропорции $a:b=c:d$ можно получить несколько равносильных
пропорций: переставить крайние члены ($d:b=c:a$), переставить средние члены ($a:c=b:d$), взять
обратные отношения ($b:a=d:c$), а также составить производные пропорции — прибавив или отняв
от каждого крайнего члена соседний средний: $(a{+}b):b=(c{+}d):d$ и $(a{-}b):b=(c{-}d):d$.
Любую перестановку всегда можно и нужно проверить перекрёстным правилом.