В прошлом пункте мы разобрали отношение двух чисел. Но очень часто в задачах встречаются
сразу два отношения, которые оказываются равны друг другу.
💡 Задача 1. План местности сделан в масштабе $\tfrac{3}{40\,000}$.
На каком расстоянии от реки находится дом, если на плане он удалён от реки на $3{,}6$ см?
Все расстояния на плане уменьшены в одно и то же число раз, поэтому, обозначив искомое
расстояние через $x$, получаем: $\tfrac{3{,}6}{x} = \tfrac{3}{40\,000}$.
💡 Задача 2. Автомобилист проехал $58$ км за $45$ мин. За сколько времени
он проедет ещё $174$ км с той же скоростью? Скорость не меняется, значит
$\tfrac{58}{45} = \tfrac{174}{y}$, где $y$ — искомое время в минутах.
Оба равенства устроены одинаково: это равенство двух отношений вида $\tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d}$.
У таких равенств есть собственное имя — с ним мы и познакомимся.
Определение пропорции
Пропорцией называется истинное равенство двух отношений:
$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad\text{или}\quad a:b=c:d, \qquad \text{где } a,b,c,d \neq 0.$$
Читают пропорцию так: «отношение $a$ к $b$ равно отношению $c$ к $d$» или
«$a$ относится к $b$, как $c$ относится к $d$».
💡 Из жизни: когда два фотоснимка одного и того же кадра сделаны в разном
разрешении, но не искажены — стороны у них относятся одинаково: $\tfrac{\text{ширина}_1}{\text{высота}_1}
= \tfrac{\text{ширина}_2}{\text{высота}_2}$. Это и есть пропорция.
Справа — интерактивная пропорция. Подвигай ползунки трёх любых чисел — четвёртое всегда
подстроится само так, чтобы равенство отношений оставалось истинным.
Крайние и средние члены
При записи пропорции «в строчку» $a:b=c:d$ два числа стоят по краям, а два — посередине.
Это и есть их традиционные названия:
$a$ и $d$ — крайние члены,
$b$ и $c$ — средние члены.
💡 Запомни на слух: представь пропорцию как шеренгу из четырёх чисел
$a,\,b,\,c,\,d$. Первое и последнее число в шеренге — «с краю» (крайние), два числа
в середине шеренги — «средние».
Интересно, что в дробной записи $\tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d}$ те же самые числа
расположены «перекрёстно»: $a$ и $d$ — по диагонали друг от друга, и $b$ и $c$ — тоже
по диагонали. Посмотри на диагональные линии справа — это и есть крайние и средние члены.
Основное свойство пропорции
Возьмём пропорцию $\tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d}$ и умножим обе части на $bd$ — равенство
не изменится:
1
$\tfrac{a}{b}\cdot bd = \tfrac{c}{d}\cdot bd$
2
Слева $b$ сокращается, справа сокращается $d$: получаем $a\cdot d = b\cdot c$.
Основное свойство пропорции (перекрёстное правило):
$$a:b=c:d \iff a\cdot d = b\cdot c,$$
то есть равенство является пропорцией тогда и только тогда, когда
произведение крайних членов равно
произведению средних членов.
Проверим правило на наших задачах из начала пункта.
Из перекрёстного правила и правила нахождения неизвестного множителя следуют два правила:
1) Чтобы найти крайний член, нужно произведение средних членов разделить
на второй крайний:
$$a = \frac{bc}{d}, \qquad d = \frac{bc}{a}.$$
2) Чтобы найти средний член, нужно произведение крайних членов разделить
на второй средний:
$$b = \frac{ad}{c}, \qquad c = \frac{ad}{b}.$$
Хочешь найти крайний член? Попробуй найти $d$ справа.
А если средний? Попробуй найти $b$ справа —
подвигай ползунки трёх известных чисел и смотри, как вычисляется четвёртое.
⚠️ Частая ошибка. Ученики путают, на какой член делить произведение.
Например, ища крайний член $d$, по ошибке делят произведение крайних $a\cdot(\text{другой крайний})$
вместо произведения средних $b\cdot c$. Чтобы не ошибиться, помни: делим всегда
на «партнёра» неизвестного (второй крайний или второй средний), а делимое — произведение
членов другого вида.
🧠 Запомни: пропорция — истинное равенство двух отношений $a:b=c:d$.
В ней $a$ и $d$ — крайние члены, $b$ и $c$ — средние. Основное свойство пропорции:
произведение крайних членов равно произведению средних, $a\cdot d = b\cdot c$. Отсюда любой
неизвестный член находится делением: крайний — на второй крайний, средний — на второй средний.