Какие числа мы знаем — Математика, 6 класс

Три знакомых множества чисел

Числа появились очень давно — для счёта предметов и измерения величин. Мы прошли путь длиной в несколько веков за один школьный год: сначала познакомились с натуральными числами (ими считают — 1, 2, 3, …), потом с целыми (к натуральным добавились противоположные им числа и ноль), а совсем недавно — с рациональными (к целым добавились дроби со знаком). Сейчас самое время остановиться и разложить всё по полочкам: что это за множества и как они связаны друг с другом.

Три множества чисел, которые мы знаем:

Натуральные числа: $N = \{1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,\ldots\}$

Целые числа: $Z = \{\ldots,\,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,3,\,\ldots\}$

Рациональные числа:

$$Q = \left\{\dfrac{p}{q},\ \text{где } p \in Z,\ q \in N\right\}$$

Каждое следующее множество появилось потому, что предыдущему чего-то не хватало. На множестве $N$ любые два числа можно сложить и перемножить, но не всегда можно вычесть — например, из 3 нельзя вычесть 5. Чтобы вычитание стало возможным всегда, натуральные числа расширили до целых $Z$.

Но и целых чисел оказалось мало: не любое целое число делится на другое нацело — например, 7 не делится на 5, пока не появились дроби. Чтобы деление (кроме деления на 0) стало возможным всегда, целые числа расширили до рациональных $Q$.

        💡 Из жизни: это как матрёшка: считать людей в классе хватит натуральных чисел,
        для учёта долгов и температуры ниже нуля нужны уже целые, а для рецепта, где нужна
        $\tfrac34$ стакана муки, или для скидки $-0{,}15$ от цены — нужны рациональные числа.
        Каждое следующее умеет всё то же, что предыдущее, и ещё немного сверх того.
      

N ⊂ Z ⊂ Q — одно множество вложено в другое

Любое натуральное число — это одновременно и целое число, и рациональное. А любое целое число — это тоже рациональное число. Почему? Потому что любое целое число можно записать в виде дроби со знаменателем 1:

$$5 = \dfrac{5}{1},\ \text{где } 5 \in Z,\ 1 \in N; \qquad -7 = \dfrac{-7}{1},\ \text{где } -7 \in Z,\ 1 \in N.$$

Число $5$ — натуральное. Оно же целое (натуральные — часть целых). Оно же рациональное: $5=\tfrac51$.

Число $-7$ — целое, но не натуральное (натуральные не бывают отрицательными). Оно рациональное: $-7=\tfrac{-7}{1}$.

Число $0{,}8=\tfrac45$ — рациональное, но не целое и не натуральное: это дробное число.

Число $0$ — целое (входит в $Z$) и рациональное ($0=\tfrac01$), но не натуральное — счёт предметов с нуля не начинают.

Именно поэтому на схеме множества чисел изображают не отдельными кружками, а одно внутри другого: круг $N$ лежит внутри круга $Z$, а круг $Z$ — внутри круга $Q$. Такую диаграмму называют диаграммой Эйлера–Венна.

🧠 Запомни: $N \subset Z \subset Q$ — каждое натуральное число целое, каждое целое число рациональное. Обратное неверно: не каждое целое число натуральное (например, $-7$), не каждое рациональное число целое (например, $0{,}8$).

А хватит ли рациональных чисел на всё?

На множестве $Q$ уже выполнимы все четыре арифметических действия (кроме деления на 0) — это самая «богатая» арифметика из трёх. Кажется, что рациональных чисел должно хватать на всё. Но так ли это?

Возьмём квадрат со стороной 1 и проведём его диагональ $d$. По теореме Пифагора $d^2 = 1^2+1^2=2$. Число $d$ не целое, потому что $1 < d < 2$. Оказывается, $d$ не является и никакой дробью — то есть не является рациональным числом! Эту диагональ можно начертить и измерить линейкой, а вот записать её длину дробью $\tfrac{p}{q}$ — невозможно, как ни старайся.

⚠️ Частая ошибка. Кажется, что раз у отрезка есть длина, её всегда можно записать дробью или десятичной дробью «поточнее». Это не так: для диагонали квадрата со стороной 1 такой дроби не существует в принципе, сколько бы цифр после запятой мы ни брали.

Такие числа назвали иррациональными («недоступными для понимания» — от латинского «ratio», разум). А привычные нам дроби, для контраста, назвали рациональными — «разумными», понятными. Если отметить на координатной прямой все рациональные числа подряд, между ними всё равно останутся «свободные места» — точки, не занятые ни одним рациональным числом. С иррациональными числами мы подробно познакомимся в старших классах.

← Глава 3, §2 · п.4 Деление рациональных чисел Все темы Глава 3, §2 · п.6* → О системах счисления

Выбери число — узнай, каким множествам оно принадлежит.