Деление рациональных чисел — Математика, 6 класс

Деление — действие, обратное умножению

Разделить число $a$ на число $b$ — значит найти такое число $c$, которое при умножении на $b$ даёт $a$:

$a : b = c \;\Leftrightarrow\; c \cdot b = a \quad (b \neq 0).$

Например, $2{,}8 : (-7) = -0{,}4$ (разные знаки), потому что $(-0{,}4)\cdot(-7) = 2{,}8$. А $(-4) : (-5) = \tfrac45$ (одинаковые знаки), потому что $\tfrac45\cdot(-5) = -4$.

Определение. Разделить $a$ на $b$ ($b\neq0$) — значит найти число $c$, такое что $c\cdot b = a$. Число $c$ называют частным чисел $a$ и $b$.

        💡 Из жизни: если умножение — это «сложить одинаковые порции», то деление —
        это «узнать размер порции». Если долг в $2{,}8$ тыс. рублей разложили поровну на $7$ месяцев
        с переплатой (то есть по $(-7)$ занятий выплат «в минус»), на каждый месяц придётся
        $-0{,}4$ тыс. рублей.
      

Правило знаков — то же самое, что при умножении

Раз деление — обратное действие к умножению, для него верно то же правило знаков, что и для умножения: сначала определяют знак частного, а уже потом — его модуль.

Оба числа положительны — знаки одинаковые, частное положительно: $8:2=4$.

Отрицательное делим на положительное — знаки разные, частное отрицательно: $(-8):2=-4$.

Положительное делим на отрицательное — снова разные знаки: $8:(-2)=-4$.

Оба числа отрицательны — знаки одинаковые, частное положительно: $(-8):(-2)=4$.

Правило. Частное двух чисел одного знака положительно, а частное двух чисел разных знаков отрицательно. Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.

Это же правило работает и для обыкновенных дробей: черта дроби — это тот же знак деления, а значит, знак «минус» можно свободно переносить между числителем, знаменателем и местом перед дробью:

$$-\dfrac{a}{b} \;=\; \dfrac{a}{-b} \;=\; -\Big(\dfrac{a}{b}\Big).$$

⚠️ Частая ошибка. Минус в числителе и минус в знаменателе путают со случаем «двух минусов», которые дают плюс. Но это как раз тот самый случай:

$$\dfrac{-a}{-b}$$

оба знака одинаковые (оба «минус»), поэтому они «взаимно уничтожаются», и результат положителен:

$$\dfrac{-a}{-b} = \dfrac{a}{b},\ \text{а не}\ -\dfrac{a}{b}.$$

Деление как умножение на обратное число

Ты уже знаешь, что два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно $1$. У числа $-2$ обратное число — это $-\tfrac12$, потому что $(-2)\cdot\big(-\tfrac12\big) = 1$. Этот приём распространяется и на все рациональные числа со знаком: чтобы найти число, обратное $a$, нужно «перевернуть» дробь и сохранить её знак.

Оказывается, деление на число $b$ всегда можно заменить умножением на число, обратное $b$:

$$a : b \;=\; a \cdot \dfrac1b \qquad (b\neq 0).$$

Например, $6 : (-2) = 6\cdot\big(-\tfrac12\big) = -3$ — попробуй сам справа, на вкладке «Взаимно обратные числа»: выбирай делитель и смотри, как рождается число, ему обратное.

Определение. Числа $a$ и $b$ называют взаимно обратными, если $a\cdot b = 1$. У числа $0$ обратного числа не существует.

Отметим частные случаи деления, которые остаются верными и для рациональных чисел:

$a:1=a, \qquad a:a=1, \qquad 0:a=0 \quad (a\neq0).$

🧠 Запомни: знаки одинаковые — частное положительно, знаки разные — частное отрицательно; модуль частного — модуль делимого разделить на модуль делителя. Разделить на $b$ — то же самое, что умножить на число, обратное $b$: $a:b=a\cdot\tfrac1b$. На ноль делить нельзя никогда.

← Глава 3, §2 · п.3 Умножение рациональных чисел Все темы Глава 3, §2 · п.5 → Какие числа мы знаем

знаки одинаковые → частное положительно