Знак «+» и «−» перед скобками
Понятие отрицательных чисел позволяет получить общее правило раскрытия скобок,
которое упрощает вычисления и преобразования выражений. Сравним два похожих
выражения — они отличаются только знаком перед скобками:
$$a + (b + c) = a + b + c \qquad a - (b + c) = a - b - c$$
Знак «+» перед скобками ничего не меняет внутри них, а знак «−» переворачивает знак
каждого слагаемого в скобках на противоположный.
Правило раскрытия скобок.
Если перед скобками стоит знак «+», то при раскрытии скобок знаки слагаемых внутри
сохраняются.
Если перед скобками стоит знак «−», то при раскрытии скобок знаки слагаемых внутри
заменяются на противоположные.
Например: $3x + (-y + 5) = 3x - y + 5$,
а $3x - (-y + 5) = 3x + y - 5$.
💡 Из жизни: представь, что в скобках — список твоих «плюсов» и «минусов»
за день (сделал уроки «+», разбил чашку «−»). Знак «+» перед скобками — это когда ты просто
добавляешь этот список к другому, ничего не меняя. А знак «−» — это когда ты
вычитаешь весь список целиком: тогда каждый «плюс» из списка становится «минусом»,
а каждый «минус» — «плюсом», как будто весь день переворачивается наоборот.
Умножение на скобку — распределительное свойство
Похожая идея работает и при умножении числа на сумму — этому учит
распределительное свойство умножения:
$$a(b + c) = ab + ac$$
По правилам умножения рациональных чисел, если множитель $a$ положительный, знаки
слагаемых $b$ и $c$ не изменятся; а если $a$ отрицательный — изменятся на противоположные
(точно так же, как со знаком «−» перед скобками). Например:
$5(-n + y) = -5n + 5y$ и
$-5(-n + y) = 5n - 5y$
Таким образом, при умножении суммы на число можно применять то же самое правило
раскрытия скобок, что и для знаков «+»/«−»: положительный множитель — знаки сохраняются,
отрицательный — знаки меняются на противоположные у всех слагаемых.
Разбор примера
Раскроем скобки и упростим выражение $-3(a - b) - 5(a + b)$:
1Раскрываем первую скобку: множитель $-3$ отрицательный, значит знаки слагаемых меняются на противоположные: $-3(a-b) = -3a + 3b$.
2Раскрываем вторую скобку: множитель $-5$ тоже отрицательный: $-5(a+b) = -5a - 5b$.
3Записываем всё вместе одной алгебраической суммой: $-3a + 3b - 5a - 5b$.
4Приводим подобные слагаемые (отдельно с $a$, отдельно с $b$): $(-3-5)a + (3-5)b = -8a - 2b$.
⚠️ Частая ошибка. При знаке «−» перед скобками меняют знак только у
первого слагаемого, забывая про остальные. Например, в выражении
$c - (b + c - a)$ неверно писать $c - b + c - a$ — минус перед скобками относится ко
всем слагаемым внутри, поэтому верно: $c - (b + c - a) = c - b - c + a$.
🧠 Запомни: знак «+» (или положительный множитель) перед скобками —
знаки слагаемых внутри сохраняются. Знак «−» (или отрицательный множитель) — знаки
всех слагаемых внутри меняются на противоположные.