Что такое коэффициент
Если выражение со скобками представляет собой произведение чисел и букв, для его
упрощения можно воспользоваться законами умножения — переместительным и сочетательным.
Рассмотрим пример: $12x \cdot 0{,}25 \cdot (-5y)$.
Это выражение — произведение пяти множителей: $12$; $x$; $0{,}25$; $-5$ и $y$. По
сочетательному закону умножения множители можно переставлять и группировать как удобно —
отдельно числовые, отдельно буквенные:
$$12x \cdot 0{,}25 \cdot (-5y) = \bigl(12 \cdot 0{,}25 \cdot (-5)\bigr)\cdot(xy) = -15xy$$
Определение. Число $-15$, полученное умножением всех числовых
множителей, называют коэффициентом. Коэффициент обычно записывают
перед буквенными множителями. Вообще, если выражение является произведением числа и
буквенной части, то числовой множитель в этом выражении называют коэффициентом.
Например, коэффициент выражения $\tfrac{5}{6}a^2b$
равен $\tfrac{5}{6}$, а коэффициент выражения
$-3{,}8mn^3$ равен $-3{,}8$.
💡 Из жизни: представь рецепт — «$3$ стакана муки». Число $3$ — это
«коэффициент» перед словом «мука», он показывает, сколько раз берётся эта единица.
Так же и в алгебре: коэффициент показывает, сколько раз (и с каким знаком) берётся
буквенная часть выражения.
Скрытый коэффициент 1 и −1
Если в записи буквенного выражения числового множителя не видно, на помощь приходят
равенства:
$$a = 1 \cdot a \qquad -a = -1 \cdot a$$
Эти равенства показывают: коэффициентом выражения $a$
является число $1$, а выражения $-a$ — число $-1$.
Так же коэффициентом выражения $-xy^2z$ считают
число $-1$, а коэффициент выражения $kp$ равен
числу $1$.
⚠️ Частая ошибка. Кажется, что если перед буквой ничего не написано, то
у выражения «нет коэффициента». На самом деле коэффициент всегда есть — просто единицу
перед буквой обычно не пишут: $a = 1 \cdot a$, а «невидимый минус» перед буквой означает
коэффициент $-1$: $-a = -1\cdot a$.
Коэффициент после раскрытия скобок
Раскроем скобки и упростим выражение $3(-2a + b) - 2(a + 7b)$:
1Раскрываем первую скобку: множитель $3$ положительный, знаки слагаемых сохраняются: $3(-2a+b) = -6a + 3b$.
2Раскрываем вторую скобку: перед ней стоит знак «−», значит множитель $-2$, и знаки слагаемых меняются на противоположные: $-2(a+7b) = -2a - 14b$.
3Записываем всё одной алгебраической суммой: $-6a + 3b - 2a - 14b$.
4Приводим подобные слагаемые (отдельно с $a$, отдельно с $b$), складывая их коэффициенты: $(-6-2)a + (3-14)b = -8a - 11b$.
В ответе $-8a - 11b$ коэффициент слагаемого с $a$ равен $-8$, а коэффициент слагаемого
с $b$ равен $-11$.
🧠 Запомни: коэффициент — это числовой множитель перед буквенной частью
выражения. Если числа перед буквой не видно — коэффициент равен $1$ (если знака нет)
или $-1$ (если стоит «минус»). После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых
коэффициент каждого слагаемого находят сложением коэффициентов, которые к нему привели.