5 класс · Математический язык

Высказывания

Что такое высказывание

Речь человека, тексты, которые он читает и пишет, состоят из предложений. Это касается и обычного, и математического языка. То, что говорится в каждом предложении, может оказаться верным или неверным.

Например, «Земля вращается вокруг Солнца» — верное предложение, как и предложение $2\cdot2=4$ из таблицы умножения. А если ученик скажет, что семью семь — сорок семь, это будет неверное предложение. Даже в книгах иногда встречаются неверные предложения — из-за опечаток, а порой и по невнимательности.

Определение. Верные и неверные предложения называют в математике высказываниями, или утверждениями. Вместо слов «верное» и «неверное» часто говорят истинное и ложное. Таким образом, утверждения бывают истинные и ложные.
💡 Из жизни: Представь, что друг сказал тебе фразу — и ты сразу можешь спросить: «Это правда или нет?» Если такой вопрос вообще имеет смысл — перед тобой высказывание. А вот на вопрос «Это правда или нет?», заданный про «Который час?» или «Ура!», ответить нельзя — это вообще не про правду и ложь.

Тема и рема

В высказываниях всегда можно выделить тему — то, о чём говорится, и рему — то, что сообщается о теме. Например, в предложении «Земля вращается вокруг Солнца» говорится о планете Земля — это тема, и сообщается, что она вращается вокруг Солнца, — это рема. Точно так же в математическом предложении $28+36=64$ говорится о сумме чисел 28 и 36, а сообщается, что эта сумма равна 64.

Не всякое предложение является утверждением. Если кто-нибудь спрашивает «Который час?» или кричит «Ура!» — не имеет никакого смысла говорить, верны эти предложения или нет. В первом из них тема есть, а ремы нет; во втором нет даже темы. Разбери все шесть примеров справа — среди них есть и высказывания, и не-высказывания.

Как доказать истинность утверждения

Очень часто предложение является утверждением, однако сразу ответить, истинно оно или ложно, мы не можем. Например, далеко не все могут ответить, истинно ли утверждение: «Слово also по-немецки означает следовательно». Но, посмотрев в словарь, нетрудно убедиться, что оно истинно.

А вот для утверждения «Слово also по-английски означает следовательно» нужен уже другой, англо-русский словарь. Там мы найдём, что в английском языке это слово означает «также». Значит, это утверждение — ложно.

Так в практической жизни утверждение можно доказать или опровергнуть, используя словарь, справочник, энциклопедию. В науке доказательство и опровержение некоторых утверждений — значительно более сложное дело: например, на доказательство утверждения «Земля вращается вокруг Солнца» учёным понадобилось не одно столетие.

💡 А как в математике? В математике для доказательства истинности утверждений используют строгие математические методы — например, вычисление или сравнение. Возьмём утверждение «Дробь $\tfrac{2}{5}$ — правильная». Чтобы проверить его истинность, не нужен словарь: достаточно сравнить числитель со знаменателем. Посмотри на графической иллюстрации справа, как это делается для четырёх разных дробей.
⚠️ Частая ошибка: ученики думают, что если истинность утверждения нельзя определить сразу «на глаз» (как со словом also), — значит, это вообще не высказывание. Это неверно! Утверждение остаётся высказыванием, даже если его истинность пока неизвестна нам лично — просто её нужно установить с помощью словаря, вычисления или доказательства. А вот предложения без темы или ремы (вопросы, восклицания) высказываниями не являются в принципе, независимо от того, что в них написано.
🧠 Запомни:
  • Высказывание (утверждение) — предложение, про которое имеет смысл спрашивать «истинно оно или ложно».
  • В каждом высказывании есть тема (о чём говорится) и рема (что сообщается о теме).
  • Вопросы и восклицания высказываниями не являются — в них нет ремы (а иногда и темы).
  • Неизвестная истинность не отменяет того, что предложение — высказывание: её можно установить словарём, вычислением или доказательством.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике