5 класс · Математический язык

Метод перебора

Недостаток метода проб и ошибок

Решая задачи методом проб и ошибок, мы просто подбирали подходящее число. Но простой подбор одного числа не даёт уверенности, что найдены все искомые значения. Чтобы доказать полноту решения, приходится проводить дополнительные, порой совсем не простые рассуждения — в этом главный недостаток метода проб и ошибок.

Метод полного перебора. При поиске неизвестного числа полным перебором рассматриваются все мыслимые возможности. Если упустить хотя бы одну — может оказаться, что именно она и даёт решение задачи.

          💡 Из жизни: Забыл код от чемодана из трёх цифр? Если нет никакой
          подсказки, единственный надёжный способ — перебрать все комбинации подряд, от 000 до 999,
          не пропуская ни одной. Пробовать наугад «на глазок» можно долго и без гарантии успеха —
          а вот честный перебор рано или поздно точно найдёт нужный код.
        

Полный перебор требует, как правило, больших усилий и времени. Но внимательный анализ условия часто позволяет найти систему перебора, которая охватывает все варианты, но оказывается гораздо короче «лобового» перебора — это мы увидим в обеих задачах ниже.

Задача 4. Сколько заказать автобусов

Для натуральных чисел $x$ и $y$ выполняются два равенства: $xy = 252$ и $(x+1)(y-6)=252$. Нужно найти эти числа ($x$ — число автобусов, $y$ — число мест в каждом).

1

Из равенства $xy=252$ видно: числа $x$ и $y$ — это парные делители числа 252 (при делении 252 на $x$ получается $y$, и наоборот). «Лобовой» перебор всех чисел до 252 был бы огромным — а парных делителей у числа 252 совсем немного.

2

Второе равенство означает, что числа $x+1$ и $y-6$ тоже обязаны быть парными делителями числа 252. Это резко сокращает перебор: из всех пар делителей подходит только та, где обе — и $(x,y)$, и $(x+1,\,y-6)$ — делители 252.

3

Проверка всех пар (см. таблицу справа) показывает: единственная подходящая — $x=6,\ y=42$, ведь $7\cdot 36 = 252$. Значит, для экскурсии нужно заказать 6 больших автобусов.

Задача 5. Загаданное двузначное число

Для цифр $x$ и $y$ двузначного числа выполняется равенство $10x+y = xy+52$, где $x$ — цифра десятков, $y$ — цифра единиц. Прямой перебор всех цифр $x$ от 1 до 9 можно сократить: правая часть равенства не меньше 52, значит, и само число не меньше 52 — а значит, $x \geqslant 5$. Остаётся проверить только пять значений: $x=5,6,7,8,9$.

Правило «весов» (известно из начальной школы): обе части уравнения можно поменять местами, увеличить, уменьшить, умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля — равенство от этого не нарушится. Как чаши весов остаются в равновесии, если добавить или снять одинаковый груз с обеих сторон. Посмотри на весах справа.

1

При $x=5$: $50+y=5y+52$ — невозможно, левая часть здесь всегда меньше правой.

2

При $x=7$: $70+y=7y+52$. Вычитая из обеих частей $y$, получаем $70=6y+52$, откуда $6y=18$ и $y=3$ — число 73 подходит: $73 = 7\cdot 3+52$.

3

При $x=8$: аналогично получаем $7y=28$, $y=4$ — число 84 тоже подходит: $84=8\cdot4+52$.

Полная таблица перебора — на панели справа.

⚠️ Частая ошибка: найдя число 73 при $x=7$, ученики радостно записывают его в ответ и останавливаются. Но перебор ещё не закончен — среди оставшихся значений ($x=8$ и $x=9$) может найтись ещё одно решение! Так и происходит: при $x=8$ находится второе число, 84. Правильный ответ задачи — «73 или 84», и получить его можно только проверив все значения $x$ до конца.

🧠 Запомни:

Метод полного перебора рассматривает все возможные варианты — пропустишь один, и можешь потерять решение.
Полный «лобовой» перебор — долгий. Ищи более короткую систему перебора: например, через парные делители числа или через оценку границ (как $x\geqslant5$ в задаче 5).
Правило «весов»: что сделал с одной частью равенства — сделай то же самое и с другой.
Найдя одно подходящее значение, не останавливайся — доводи перебор до конца, иначе рискуешь пропустить второе решение.