Решить уравнение — значит найти множество всех его корней. Самый простой способ решения
состоит в том, что уравнение приводят к более простому или удобному виду. При этом важно,
чтобы новое уравнение имело те же самые корни, что и исходное.
Определение. Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называют
равносильными. Преобразование уравнения, не меняющее множества его
корней, называют равносильным преобразованием.
При равносильных преобразованиях используют такие правила и свойства:
правила нахождения неизвестных компонентов действий (слагаемого, множителя, делимого и т. д.);
основное свойство пропорции («перекрёстное» правило);
правило весов — обе части уравнения можно поменять местами, прибавить, вычесть, умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля;
правила упрощения выражений — раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых.
💡 Из жизни: представь настоящие весы с двумя чашами в равновесии. Если
добавить одинаковый груз на обе чаши, разделить груз обеих чаш пополам или домножить обе
чаши на одно и то же число раз — весы останутся в равновесии. Уравнение работает точно так же:
любое действие, сделанное одинаково с обеими частями, сохраняет равенство.
Приём переноса слагаемых
Идея переноса возникает, если сравнить действие «прибавить к обеим частям одно и то же
слагаемое» с результатом. Пусть дано уравнение $-x + 10 = 3x$. Прибавим к обеим его частям
слагаемое $(+x)$:
$-x + x + 10 = 3x + x \;\Leftrightarrow\; 10 = 3x + x$
Слагаемое $(-x)$ исчезло из левой части, но появилось в правой части с противоположным
знаком $(+x)$. Значит, можно сказать, что мы перенесли слагаемое
$(-x)$ из левой части в правую, изменив его знак.
Так же можно переносить слагаемые из правой части в левую.
Правило переноса. Слагаемое можно переносить из одной части уравнения
в другую, изменяя его знак на противоположный.
Приём «переноса» открыл в IX веке среднеазиатский учёный аль-Хорезми и назвал «аль-джебр» —
«воссоединение». Именно от этого слова произошло название раздела математики — алгебра.
Пример 1. Решить уравнение $8x - 9 = -2x + 3$.
Соберём слагаемые с $x$ в левой части, а свободные члены — в правой части, изменив знаки при переносе:
1
Перенесём $-2x$ из правой части в левую, изменив знак на $+2x$: $\;8x + 2x - 9 = 3$.
2
Перенесём $-9$ из левой части в правую, изменив знак на $+9$: $\;8x + 2x = 3 + 9$.
3
Приведём подобные слагаемые в обеих частях: $\;10x = 12$.
4
Разделим обе части на коэффициент $10$: $\;x = 1{,}2$.
🧠 Так как на каждом шаге мы получали равносильные уравнения, число $1{,}2$ — корень
исходного уравнения. Ответ: $\{1{,}2\}$.
Когда правил недостаточно: перебор и подбор
Не всякое уравнение сводится к известным равносильным преобразованиям. Например,
уравнение $x^2 + 3x - 54 = 0$ (где $x \in \mathbb{N}$) после переноса свободного члена
и вынесения общего множителя принимает вид $x(x+3) = 54$ — здесь нет единственного
неизвестного компонента, который можно было бы найти по правилу.
Тогда на помощь приходят:
метод проб и ошибок — экспериментально подбирается корень, а затем доказывается, что других корней нет;
метод перебора — проверяются все возможные варианты (например, делители числа $54$).
Число $6$ — корень уравнения $x(x+3)=54$, так как $6 \cdot (6+3) = 54$ — верное равенство.
Других натуральных корней нет: при увеличении множителя $x$ произведение $x(x+3)$ тоже
растёт, а при уменьшении — убывает, поэтому подходящее значение единственно.
⚠️ Частая ошибка. При переносе слагаемого забывают поменять его знак:
например, из $8x - 9 = -2x + 3$ вместо $8x + 2x = 3 + 9$ пишут $8x - 2x = 3 - 9$. Это
неверно — перенос слагаемого в другую часть уравнения всегда меняет его знак на
противоположный, а не переносится «как есть».
🧠 Запомни: для линейных уравнений подходят перенос слагаемых и правило
весов (прибавить/умножить/разделить обе части на одно и то же число). Если уравнение не
сводится к простому виду — используют метод проб и ошибок или метод перебора, но тогда
отдельно нужно доказать, что других корней нет.