При решении задач часто приходится составлять равенство, обозначив неизвестную величину
буквой — обычно буквой $x$. Так поступали математики ещё в древности. Равенство
с неизвестной величиной стали называть уравнением.
Мы уже встречались с уравнениями, когда решали задачи методом проб и ошибок и методом
перебора: находили неизвестное число $x$ испытанием разных «кандидатов» на его роль.
По сути мы рассматривали букву $x$ как переменную, а само уравнение — как равенство
с переменной.
Определение.Уравнением называют равенство, содержащее
переменную, значение которой надо найти. Например, уравнениями являются равенства
$x^4 = 16$,
$2y + 3 = y^2$,
$0{,}06 = (n - 0{,}1)(n - 0{,}2)$.
А вот записи $17 - 4x$,
$y + 8 \gtrless 25$,
$12 + 3 = 15$ уравнениями не являются:
первые две записи вообще не равенства, а в равенстве $12 + 3 = 15$ нет переменной.
🧠 Уравнение характеризуется двумя свойствами одновременно:
1) это равенство; 2) в этом равенстве есть буква, значение которой надо найти.
Корень уравнения
Уравнение, как и всякое предложение с переменной, при подстановке в него конкретных
значений переменной может становиться истинным или ложным высказыванием.
Определение. Значение переменной, при подстановке которого в уравнение
получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения.
Например, число $2$ является корнем уравнения
$x^3 - x = 6$, так как $2^3 - 2 = 6$. Напротив,
число $3$ не является корнем этого уравнения,
так как $3^3 - 3 \ne 6$.
💡 Из жизни: слово «корень» здесь — метафора. Подобно корню растения,
который удерживает его в почве, корень уравнения «удерживает» его в множестве истинных
высказываний — при этом значении переменной равенство становится верным.
Сколько корней может быть у уравнения
После того как уравнение составлено, основная задача — найти все его корни. Но сначала
нужно указать, в каком числовом множестве их искать — множество значений
переменной. В практических задачах оно определяется смыслом условия: если $x$ —
количество учеников в школе, разумно искать $x$ только среди натуральных чисел.
Число корней у разных уравнений может быть разным:
1
Уравнение $2x = 6$ имеет ровно один корень — число $3$.
2
Уравнение $x^2 = 25$ имеет два корня — числа $5$ и $-5$.
3
Корнем уравнения $2(x+4) = 2x + 8$ является любое число, так как в обеих его частях стоят равные выражения.
4
Уравнение $x + 4 = 2$ на множестве натуральных чисел не имеет корней: сумма натурального числа $x$ и $4$ всегда больше $4$, значит не может равняться $2$.
💡 Из жизни: если доказано, что корней у уравнения нет — это тоже
результат решения. Мама попросила сына принести картошку из ящика, а там картошки не
оказалось, и он ничего не принёс. Выполнил ли он просьбу мамы? Да — ведь мама ни в чём
не может его упрекнуть.
⚠️ Частая ошибка. Думать, что у любого уравнения есть ровно один корень.
На самом деле корней может быть $0$, $1$, $2$ и даже бесконечно много (любое число) —
всё зависит от самого уравнения.
🧠 Запомни:решить уравнение — значит найти множество
всех его корней или доказать, что корней нет (на множестве значений переменной). Если
корней нет, множество корней называют пустым и пишут «решений нет» или знак $\varnothing$.