В повседневной жизни можно услышать фразу «оставьте мне свои координаты» — это
значит, что человек должен назвать данные, по которым его можно найти: адрес или
номер телефона.
💡 Из жизни: координаты — это набор данных, определяющий положение
объекта. Широта и долгота на географической карте, номер вагона и места в поезде,
номер ряда и места в кинотеатре — всё это координаты, только устроенные по-разному.
С координатами мы уже встречались: числом определяли положение точки на
координатной прямой, а парой чисел —
положение точки координатного угла. Введение отрицательных чисел позволяет сделать
следующий шаг: определить положение любой точки плоскости. Для этого
достаточно продолжить стороны координатного угла до целых прямых.
Система координат на плоскости
Определение. Система координат на плоскости задаётся парой
перпендикулярных координатных прямых с общим началом отсчёта.
Эту точку называют началом координат и
обозначают буквой O. Одну прямую называют осью
абсцисс (осью $x$, или $Ox$), другую — осью
ординат (осью $y$, или $Oy$). Ось абсцисс располагают горизонтально, ось
ординат — вертикально; положительное направление показывают стрелкой.
Плоскость с заданной на ней системой координат называют координатной
плоскостью. Оси разбивают её на четыре области — координатные четверти. Их нумеруют римскими цифрами
против часовой стрелки, начиная с той, где обе координаты
положительны.
Чтобы найти координаты точки $M$, нужно провести через неё прямые, перпендикулярные
осям. Координату точки на оси $Ox$ называют абсциссой, а координату на оси $Oy$ —
ординатой. Абсциссу и
ординату вместе называют координатами точки и записывают в скобках через точку с
запятой, абсцисса — всегда первая: $M(x;\,y)$.
Пример: построение точки по координатам
Задача. Построй на координатной плоскости точку $M$ с абсциссой $3$
и ординатой $4$, то есть $M(3;\,4)$.
Разберём построение по шагам — они синхронизированы с точкой справа (перетащи её и посмотри, как это работает для любых координат).
1
На оси $Ox$ отмечаем число $3$ — это абсцисса точки $M$. Через эту отметку проводим прямую, перпендикулярную оси $Ox$.
2
На оси $Oy$ отмечаем число $4$ — это ордината точки $M$. Через эту отметку проводим прямую, перпендикулярную оси $Oy$.
3
Точка пересечения этих двух перпендикуляров и есть искомая точка $M(3;\,4)$.
Есть и второй способ: сместиться от начала координат по оси $x$ на $3$ единицы вправо,
а затем — параллельно оси $y$ — на $4$ единицы вверх. Результат тот же.
Знаки координат в четвертях
Если точка $M$ имеет абсциссу $x$ и ординату $y$, знаки этих чисел зависят от того, в
какой четверти лежит точка:
I четверть: $x > 0$, $y > 0$;
II четверть: $x < 0$, $y > 0$;
III четверть: $x < 0$, $y < 0$;
IV четверть: $x > 0$, $y < 0$.
Если точка лежит на оси $Ox$, её ордината равна нулю — координаты имеют вид $(x;\,0)$.
Если точка лежит на оси $Oy$, нулю равна абсцисса — координаты имеют вид $(0;\,y)$.
У самого начала координат обе координаты равны нулю: $O(0;\,0)$.
⚠️ Частая ошибка. Путают порядок записи координат — абсцисса всегда
пишется первой, ордината второй. Точки $A(-3;\,2)$ и $B(2;\,-3)$ — это разные
точки, хотя в записи участвуют одни и те же числа $-3$ и $2$: изменение порядка
координат меняет положение точки на плоскости.
🧠 Запомни: координатная плоскость задаётся двумя перпендикулярными
осями с общим началом $O$ — осью абсцисс $Ox$ и осью ординат $Oy$. Координаты точки
$M(x;\,y)$ находят перпендикулярами к осям: $x$ — абсцисса (по горизонтали), $y$ —
ордината (по вертикали). Порядок координат важен. Четыре четверти нумеруются против
часовой стрелки, начиная с той, где $x>0$ и $y>0$.