Зависимости между величинами можно выразить тремя способами: формулой, таблицей и
графиком. Мы уже строили зависимости общего вида — прямую пропорциональность
$y = kx$ и обратную пропорциональность $y = k/x$. Введение системы координат,
в которой числа могут быть и отрицательными, позволяет строить график
любой зависимости — например, изменения температуры воздуха
в течение суток, когда значения бывают и ниже нуля.
💡 Из жизни: в России температуру измеряют по шкале Цельсия
(°C), а в США и Англии — по шкале Фаренгейта (°F). Перевести одну в другую можно
по формуле:
$$y = \tfrac{5}{9}(x - 32)$$
где $x$ — температура по Фаренгейту, а $y$ — соответствующая ей температура по
Цельсию. Например, если $x = 37$, то $y = \tfrac{5}{9}(37-32) = \tfrac{5}{9}\cdot 5
\approx 2{,}8$ — совсем не жарко, хотя число $37$ кажется знакомым по человеческой
температуре тела в градусах Цельсия.
Понятие функции
Определение. Зависимость переменной $y$ от переменной $x$, при
которой каждому значению $x$ соответствует единственное
значение $y$, называют функциональной зависимостью, или функцией.
Не любой график на координатной плоскости задаёт функцию. Чтобы проверить это,
удобно использовать простой приём: проведи вертикальную прямую через любую точку оси $x$.
Если она пересекает график ровно один раз — каждому $x$
соответствует одно значение $y$, зависимость функциональна;
если в какой-то точке она пересекает график дважды или больше — одному значению $x$
отвечают сразу несколько $y$, это не функция.
Пример: проверяем график
Справа — два графика: парабола (её мы будем строить в старших классах, а здесь
просто рассматриваем как кривую) и окружность. Потяни за ползунок — вертикальная
прямая сдвинется, а справа появится, сколько раз она пересекает выбранную кривую.
1
Выбери значение $x$ и проведи через него вертикальную прямую — она перпендикулярна оси $Ox$.
2
Посчитай, сколько раз эта прямая пересекает график зависимости.
3
Если пересечение одно при любом $x$ — перед нами функция. Если хотя бы для одного $x$ пересечений два и больше — это не функция.
⚠️ Частая ошибка. Думать, что любая линия на координатной
плоскости — это функция. Например, окружность функцией не является: возьми
любую внутреннюю точку по оси $x$ (кроме крайних) — вертикальная прямая через неё
пересечёт окружность сразу в двух точках, то есть одному значению
$x$ соответствуют сразу два значения $y$ — верхнее и нижнее. А вот параболу вертикальная прямая пересекает
всегда только один раз — это функция.
🧠 Запомни: зависимости между величинами задают формулой,
таблицей или графиком. Зависимость $y$ от $x$ называют функцией,
если каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$. Проверить это
по графику можно вертикальной прямой: одно пересечение — функция, два и больше
пересечений хотя бы в одной точке — не функция.