Любое животное во дворе может быть птицей или кошкой, иметь две ноги или четыре.
Любое дерево может быть хвойным или лиственным. Любая книга — художественной
или учебной. Это касается и математических объектов: натуральное число может
быть чётным или нечётным, дробь — правильной или нет, уравнение — иметь корни
или не иметь.
Каждое свойство делит
множество предметов на два класса: обладающие этим свойством и не обладающие им.
Такие предложения с переменной можно записать как
логическое следование:
$x$ — ель $\Rightarrow$ $x$ — хвойное дерево.
💡 Из жизни: обычный человек, выбирая ёлку, смотрит на высоту
и свежесть конкретного дерева. А ботаник говорит о ели общими словами: дерево,
хвойное, шишки. Науку интересуют именно такие общие свойства — они и записываются
через следование $P \Rightarrow Q$.
Свойство и признак — не одно и то же
Возьмём следование $P \Rightarrow Q$: оно говорит, что $Q$ — это
свойство предметов, обладающих $P$. Но верно ли обратное —
$Q \Rightarrow P$? Для ели это не так: сосна тоже хвойное дерево, но сосна — не
ель. Значит, «быть хвойным» — это свойство ели, но не её отличительный признак.
Определение. Если верно не только $P \Rightarrow Q$, но и
обратное следование $Q \Rightarrow P$, то есть
$P \Leftrightarrow Q$,
то свойство $Q$ называют признаком предмета $P$ — необходимым
и достаточным условием.
Иначе говоря: свойство — это то, что обязательно есть у предмета (необходимое
условие). А признак — это свойство, по которому предмет можно однозначно узнать
(необходимое и достаточное условие).
Пример по шагам: три свойства квадрата
У квадрата $ABCD$ есть несколько свойств. Проверим, какие из них — признаки.
1
$ABCD$ — квадрат $\Rightarrow$ все углы прямые. Проверим обратное: если
у четырёхугольника все углы прямые, обязательно ли он квадрат? Нет —
контрпример: прямоугольник со сторонами $2$ и $5$. Значит, это только
свойство, не признак.
2
$ABCD$ — квадрат $\Rightarrow$ все стороны равны. Обратное тоже неверно —
контрпример: ромб с равными сторонами, но без прямых углов. Тоже только
свойство.
3
$ABCD$ — квадрат $\Rightarrow$ $ABCD$ — прямоугольник и $AB = BC$.
А теперь проверим обратное: если прямоугольник имеет две смежные равные
стороны, то все его стороны равны (по свойству прямоугольника) — значит,
это точно квадрат. Обратное верно!
4
Раз верны оба следования, это уже не просто свойство, а
признак: $ABCD$ — квадрат $\Leftrightarrow$ $ABCD$ —
прямоугольник, $AB = BC$. Именно так и определяют квадрат.
Определение через знак def
Чтобы дать определение понятию, годится только тот признак, который
одновременно является необходимым и достаточным условием — то есть
равносильность. Такую равносильность в определениях помечают буквами
def над знаком $\Leftrightarrow$:
Так буквы def (от латинского
definitio — определение) показывают: это не просто верное
следование, а именно определение понятия через его признак.
⚠️ Частая ошибка. В качестве определения берут просто верное
свойство, забыв проверить обратное следование. Например, нельзя определить
квадрат как «четырёхугольник с равными сторонами» — под это описание подходит
и ромб без прямых углов. Определением может быть только признак, то есть
равносильность в обе стороны.
🧠 Запомни: свойство — это $P \Rightarrow Q$ (необходимое
условие). Признак — это $P \Leftrightarrow Q$, то есть верны сразу
$P \Rightarrow Q$ и $Q \Rightarrow P$ (необходимое и достаточное условие).
Для определения понятия годится только признак.