Ясно, что «иметь отчество Андреевич» и «иметь отца, которого зовут Андрей» —
это одно и то же. Поэтому если человек имеет отчество Андреевич, мы можем
сделать вывод, что его отца зовут Андрей. И наоборот: если отца человека
зовут Андрей, то все его сыновья — Андреевичи.
Другими словами, равносильность
этих предложений означает, что верны сразу два взаимно обратных следования:
«Человек $X$ имеет отчество Андреевич $\Rightarrow$ отца человека $X$ зовут Андрей»
и «Отца человека $X$ зовут Андрей $\Rightarrow$ человек $X$ имеет отчество Андреевич».
💡 Из жизни: равносильность — это когда от одного предложения
всегда можно перейти к другому и обратно, без потери смысла. Как две двери,
ведущие в одну и ту же комнату: неважно, через какую войти — окажешься там же.
Определение и запись
Определение. Предложения $P$ и $Q$ называются
равносильными
($P \Leftrightarrow Q$), если истинны оба следования:
$P \Rightarrow Q$ и $Q \Rightarrow P$.
Сказать «Предложения $P$ и $Q$ равносильны» — то же самое, что сказать
«Истинны следования: $P \Rightarrow Q$ и $Q \Rightarrow P$». Эту мысль можно
записать символически:
Расшифровывается запись просто: символ $\Leftrightarrow$, стоящий вне скобок,
заменяем на словосочетание «означает, что». А скобки нужны, чтобы ясно
показать, о равносильности каких именно предложений идёт речь — так же, как
в обычном языке пунктуация меняет смысл фразы «казнить нельзя помиловать».
Пример по шагам: $x < y \Leftrightarrow y > x$
Проверим, равносильны ли предложения «$x < y$» и «$y > x$» для рациональных чисел $x$ и $y$.
1
Проверь первое следование: $x < y \Rightarrow y > x$. Если $x$ меньше $y$,
то $y$ обязательно больше $x$ — истинно.
2
Проверь второе, обратное следование: $y > x \Rightarrow x < y$. Оно тоже
верно — работает в обе стороны.
3
Оба следования истинны одновременно — значит предложения не просто
связаны, а полностью совпадают по смыслу.
4
Записываем равносильность: $x < y \Leftrightarrow y > x$.
Как равносильность звучит в речи
Переключай вкладки справа — смотри разные примеры равносильных предложений.
Оборот речи
Пример
«тогда и только тогда, когда»
$x < y$ тогда и только тогда, когда $y > x$
«это значит»
Разделить $a$ на $b$ — это значит найти такое $c$, что $c \cdot b = a$
«необходимо и достаточно»
Чтобы установить рекорд, необходимо и достаточно показать результат лучше действующего
⚠️ Частая ошибка. Записывая равносильность через следования,
забывают скобки: пишут $P \Leftrightarrow Q \Leftrightarrow (P \Rightarrow Q \text{ и } Q \Rightarrow P)$
вместо $(P \Leftrightarrow Q) \Leftrightarrow (P \Rightarrow Q \text{ и } Q \Rightarrow P)$.
Без скобок непонятно, какие два предложения равносильны — точно так же, как
без запятых меняется смысл фразы «казнить нельзя помиловать».
🧠 Запомни: $P$ и $Q$ равносильны ($P \Leftrightarrow Q$) тогда
и только тогда, когда истинны оба следования: $P \Rightarrow Q$ и $Q \Rightarrow P$.
Кратко: $(P \Leftrightarrow Q) \Leftrightarrow (P \Rightarrow Q \text{ и } Q \Rightarrow P)$.
Скобки в этой записи обязательны — без них теряется смысл, что именно с чем равносильно.