Классификация геометрических фигур

Один треугольник — ещё не все треугольники

Свойства геометрических фигур интересовали людей ещё в глубокой древности — слишком уж большое у них было практическое значение. Но даже свойства такой простой фигуры, как треугольник, находили не сразу, а долгой работой с конкретными треугольниками и последующим обобщением выводов.

Возьмём треугольник $ABC$ — пусть все его углы острые. Можно ли на этом основании сказать, что у всех треугольников углы острые? Конечно нет — опыт с другими треугольниками сразу это опровергает: углы бывают и прямыми, и тупыми (а сумма всех трёх углов любого треугольника всегда равна $180°$).

Значит, все треугольники по виду углов удобно разбить на три группы: остроугольные — у которых все углы острые, прямоугольные — с одним прямым углом, и тупоугольные — с одним тупым углом.

Определение. Разбиение множества на классы, при котором каждый элемент множества попадает ровно в один класс, называется классификацией. Полученные классы не пересекаются между собой, а вместе составляют всё исходное множество. Условие, по которому множество делят на классы, называют основанием классификации (в нашем примере — «вид самого большого угла в треугольнике»).

Как определить класс треугольника

Любой треугольник $ABC$ — это множество $Т$ всех треугольников, и по виду углов он обязан попасть ровно в один из трёх классов. Разберём, как это сделать, по шагам.

Классы внутри классов — подклассы

Иногда внутри класса можно выделить ещё и подкласс — то есть подмножество. Например, в множестве $Т$ всех треугольников можно выделить равнобедренные — те, у которых две стороны равны. А среди равнобедренных, в свою очередь, — равносторонние — те, у которых равны все три стороны.

Каждый равносторонний треугольник является и равнобедренным — ведь он удовлетворяет определению равнобедренного (у него тоже есть две равные стороны, даже три). Обозначив множество равносторонних треугольников $Т_{рс}$, а равнобедренных $Т_{рб}$, это записывают так:

$$Т_{рс} \subset Т_{рб} \subset Т$$

        💡 Из жизни: так же устроена классификация везде, где
        объектов слишком много, чтобы изучать их по одному. Биологи насчитали
        около 250 тысяч видов одних только цветковых растений — изучить их все
        поодиночке невозможно, поэтому близкие виды объединяют в роды, роды —
        в семейства, семейства — в классы. Так же в химии выделяют классы веществ,
        а в русском языке — части речи.
      

⚠️ Частая ошибка. Ученики иногда думают, что раз треугольник равнобедренный, то он не может быть ещё и тупоугольным — как будто это взаимоисключающие классы. На самом деле это две разные классификации с разными основаниями: одна — по виду углов (остроугольный / прямоугольный / тупоугольный), другая — по числу равных сторон (разносторонний / равнобедренный / равносторонний). Один и тот же треугольник одновременно занимает своё место в каждой из этих классификаций — например, вполне может быть и равнобедренным, и тупоугольным сразу.

🧠 Запомни: классификация — это разбиение множества на классы, где каждый элемент попадает ровно в один класс, а классы вместе составляют всё множество. Внутри класса могут быть подклассы — тогда одно множество является подмножеством другого ($Т_{рс} \subset Т_{рб} \subset Т$). У одной и той же фигуры может быть несколько независимых классификаций сразу — по разным основаниям.