Задачи на построение — Математика, 6 класс

Точность без измерений

Линейка и транспортир дают лишь приближённый результат: второй конец отрезка или вторая сторона угла почти никогда не попадает точно на деление шкалы. Даже если на глаз видно, какое деление ближе, ответ всё равно получается «на глазок» — это неустранимая погрешность любого измерения.

Поэтому ещё в древности математики стремились строить фигуры без единого измерения — двумя инструментами: линейкой без делений (ею проводят прямые) и циркулем (им проводят окружности).

Из этих двух инструментов складываются всего пять базовых операций: построение прямой (1), построение окружности (2), нахождение точки пересечения двух прямых (3), прямой и окружности (4), двух окружностей (5). Больше ничего не разрешается — ни делений на линейке, ни измерений «на глаз».

Обозначения. $(AB)$ — прямая $AB$; $[AB)$ — луч $AB$; $[AB]$ — отрезок $AB$; $(O, r)$ — окружность с центром $O$ и радиусом $r$.

        💡 Из жизни: древние греки верили, что циркулем
        и линейкой можно построить вообще всё, — пока не столкнулись
        с тремя знаменитыми задачами: трисекцией угла (разделить
        произвольный угол на три равные части), удвоением куба
        и квадратурой круга. Больше 24 веков никто не мог их решить,
        и лишь в XIX веке математики строго доказали: этими двумя
        инструментами это построить невозможно.
      

Построение биссектрисы угла

Разберём главную задачу пункта — как разделить угол $A$ пополам, не имея транспортира, — используя лишь пять базовых операций.

Ещё четыре опорные задачи

Задача 1. Отрезок, равный данному. Проводим произвольную прямую $a$, отмечаем на ней точку $C$, раствором циркуля, равным данному отрезку, чертим окружность с центром $C$. Точка её пересечения с прямой $a$ даёт отрезок $CD$, равный $AB$.

Задачи 2–3. Равный треугольник и равный угол. На произвольной прямой откладываем отрезок $A_1C_1$, равный $AC$, затем проводим окружность радиусом $AB$ с центром $A_1$ и окружность радиусом $BC$ с центром $C_1$ — их пересечение даёт вершину $B_1$. Треугольник $A_1B_1C_1$ равен треугольнику $ABC$, а значит, равен и угол $A_1$ углу $A$: задача про угол сводится к задаче про треугольник.

Задача 5. Середина отрезка. Строим две пересекающиеся окружности одинакового радиуса $r > AB{:}2$ с центрами в концах отрезка. Через точки их пересечения проводим прямую — она находит середину отрезка $AB$ и заодно перпендикулярна к нему: такую прямую называют серединным перпендикуляром.

Задача 6. Перпендикуляр через данную точку. Проводим окружность с центром в данной точке — она пересекает данную прямую в двух точках. Серединный перпендикуляр к отрезку между ними (задача 5) и есть искомый перпендикуляр — он обязательно пройдёт через исходную точку.

⚠️ Частая ошибка. Раствор циркуля незаметно «подправляют» в процессе одного построения — например, кажется, что окружность не дотянулась до нужной точки, и её слегка подрисовывают от руки. Так делать нельзя: раствор циркуля обязан оставаться неизменным на протяжении всего одного шага, иначе построение перестаёт быть точным и превращается в обычное рисование на глаз.

🧠 Запомни: все построения циркулем и линейкой складываются из пяти базовых операций — прямая, окружность, пересечение двух прямых, прямой и окружности, двух окружностей. Каждая решённая задача расширяет наши возможности: если задача уже решена (например, «отрезок, равный данному»), в следующих задачах её просто используют как готовый кирпичик, не повторяя все шаги заново.