Функцию, которую можно задать формулой вида $y=x^{n}$, где $x$ — независимая переменная, а $n$ — целое число, называют степенной функцией с целым показателем.
📐ОпределениеСтепенная функция с целым показателем — функция вида $y=x^{n}$, $n\in\mathbb{Z}$.
Со степенными функциями $y=x^{2}$ и $y=x^{3}$ вы уже знакомы по курсу 7 класса. Знакома и функция $y=x$ — частный случай прямой пропорциональности $y=kx$ при $k=1$. Теперь рассмотрим функции с отрицательными целыми показателями — $y=x^{-1}$ и $y=x^{-2}$. По определению степени с отрицательным показателем $x^{-1}=\dfrac{1}{x}$ и $x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}$, поэтому область определения каждой из этих функций — все числа, кроме нуля.
💡Из жизниОтрицательный показатель степени встречается не только в тетради. Закон всемирного тяготения устроен так, что сила притяжения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния между телами — в формуле силы появляется множитель $r^{-2}$: чем дальше друг от друга объекты, тем быстрее «тает» притяжение.
Свойства и график функции $y=x^{-1}$
1Если $x>0$, то $y>0$; если $x<0$, то $y<0$ — $x$ и $y$ всегда одного знака, так как $x^{-1}=\tfrac{1}{x}$. Значит, график расположен в первой и третьей четвертях — это гипербола.
2Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции: если $x_0$ и $-x_0$ — значения аргумента, то $x_0^{-1}=\tfrac{1}{x_0}$, а $(-x_0)^{-1}=-\tfrac{1}{x_0}$ — числа противоположные.
3Значит, если точка $M(x_0;y_0)$ принадлежит графику, то и точка $M'(-x_0;-y_0)$ тоже ему принадлежит. Такие точки симметричны относительно начала координат — значит, весь график $y=x^{-1}$ симметричен относительно начала координат. Такую функцию называют нечётной: $f(-x)=-f(x)$.
4При $x\to+\infty$ значения $y$, оставаясь положительными, стремятся к $0$; при $x\to0^{+}$ значения $y$ неограниченно растут ($y\to+\infty$). Для отрицательных $x$ — то же самое, но с обратным знаком $y$. Ветви гиперболы всё ближе прижимаются к осям, но никогда их не касаются.
🎡Из жизниПредставь качели-карусель: если повернуть её ровно на пол-оборота (180°) вокруг центральной опоры, она «наложится сама на себя» — с одной стороны сиденье поднялось, с другой ровно настолько же опустилось. Так же ведёт себя график нечётной функции при повороте на 180° вокруг начала координат.
Свойства и график функции $y=x^{-2}$
1При любом $x\neq0$ значение $x^{-2}=\tfrac{1}{x^{2}}>0$ — значения функции всегда положительны. Значит, график целиком расположен выше оси $x$.
2Противоположным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции: $x_0^{-2}=(-x_0)^{-2}$. Значит, точке $M(x_0;y_0)$ графика соответствует точка $M'(-x_0;y_0)$ того же графика — эти точки симметричны относительно оси $y$. Такую функцию называют чётной: $f(-x)=f(x)$.
3При $x\to+\infty$ или $x\to-\infty$ значения $y\to0$; при $x\to0$ значения $y\to+\infty$ — обе ветви уходят вверх, приближаясь к оси $y$.
4Первую ветвь строят по точкам для положительных $x$, вторую — симметрично первой относительно оси $y$, ведь функция чётная.
Значения функции $y=x^{-2}$ для нескольких положительных $x$
🪞Из жизниВстань перед зеркалом и подними правую руку — отражение поднимет левую, но на той же высоте. Ось $y$ работает как такое зеркало для графика $y=x^{-2}$: левая и правая ветви — зеркальные отражения друг друга.
⚠️Частая ошибкаРаз в записи $x^{-2}$ есть «квадрат», ученики иногда думают, что график похож на параболу $y=x^{2}$: проходит через начало координат и имеет там минимум. На самом деле $x=0$ вообще не входит в область определения — точки $(0;0)$ на графике нет, а при $x\to0$ значения $y$ не касаются минимума, а неограниченно растут ($y\to+\infty$). У $y=x^{-2}$, в отличие от параболы, нет вершины — на промежутке $(0;+\infty)$ функция всюду убывает.
Запомни
🧠ИтогиОбе функции определены при $x\neq0$. $y=x^{-1}$ — нечётная, график (гипербола) в I и III четвертях, симметричен относительно начала координат и относительно прямой $y=x$; значения $x$ и $y$ — взаимно обратные числа ($xy=1$). $y=x^{-2}$ — чётная, график целиком выше оси $x$, симметричен относительно оси $y$. У обеих функций при удалении от нуля значения стремятся к $0$, а при приближении к нулю — неограниченно растут по модулю.