Стандартный вид числа $a=a_0\cdot10^{n}$ придуман не только для короткой записи. Он позволяет удобно сравнивать очень большие или очень маленькие величины — а именно с этим постоянно сталкиваются в астрономии, физике, химии.
💡ИдеяЕсли два числа записаны в стандартном виде, то первым делом сравнивают не сами числа, а их порядки $n$ — это как сравнить, в каком «разряде величин» находится число, ещё до того как вглядываться в конкретные цифры.
Пример 1. Сравнение больших чисел — расстояния до планет
Даны примерные расстояния от планет Солнечной системы до Солнца: Земля — $1{,}5\cdot10^{8}$ км, Юпитер — $7{,}78\cdot10^{8}$ км, Меркурий — $5{,}8\cdot10^{7}$ км, Нептун — $4{,}497\cdot10^{9}$ км, Уран — $2{,}87\cdot10^{9}$ км, Сатурн — $1{,}42\cdot10^{9}$ км, Венера — $1{,}08\cdot10^{8}$ км, Марс — $2{,}28\cdot10^{8}$ км.
1Все расстояния уже в стандартном виде — значит, порядок каждого числа виден сразу. Наименьший порядок $7$ — у числа $5{,}8\cdot10^{7}$, значит ближе всего к Солнцу находится Меркурий.
2Наибольший порядок $9$ — сразу у трёх планет: Нептуна, Урана, Сатурна. Раз порядок один и тот же, сравниваем первые множители: $4{,}497 > 2{,}87 > 1{,}42$. Значит, дальше всего от Солнца — Нептун.
3Порядок $8$ — у Земли, Юпитера, Венеры и Марса. Сравниваем множители: $1{,}08 < 1{,}5 < 2{,}28 < 7{,}78$, значит порядок по удалённости — Венера, Земля, Марс, Юпитер.
4Итог: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун — от ближайшей к Солнцу планеты до самой далёкой.
Пример 2. Сравнение малых чисел — сила звука
Силу звука в акустике измеряют в Вт/см². Сравним шорох листьев в лесу в тихую погоду — $1\cdot10^{-15}$ Вт/см² — и шум на оживлённой городской улице — $1\cdot10^{-10}$ Вт/см².
1Первые множители у обоих чисел одинаковы ($1$), значит различие полностью определяется порядком: $-15$ у шороха листьев и $-10$ у уличного шума.
2Разница порядков: $-10-(-15)=5$. Значит шум городской улицы больше шороха листьев ровно на $5$ порядков, то есть в $10^{5}=100\,000$ раз.
Отсюда несложно сделать вывод, какой из этих «шумов» безопаснее для слуха человека.
📐Правило сравнения чисел в стандартном видеЧтобы сравнить два положительных числа $a_1=a_0\cdot10^{m}$ и $a_2=b_0\cdot10^{n}$: сначала сравнивают порядки $m$ и $n$ — больше порядок, больше число. Если порядки равны, сравнивают первые множители $a_0$ и $b_0$.
Умножение чисел в стандартном виде
Стандартный вид удобен и для вычислений: при умножении первые множители перемножаются, а показатели степени $10$ складываются — это прямое следствие свойства $10^m\cdot10^n=10^{m+n}$.
2Получаем $4{,}55\cdot10^{5}$ — множитель $4{,}55$ уже между $1$ и $10$, значит это сразу стандартный вид.
3$(4{,}4\cdot10^{-3})\cdot(5{,}2\cdot10^{4})$: множители $4{,}4\cdot5{,}2=22{,}88$, показатели $-3+4=1$. Получаем $22{,}88\cdot10^{1}$ — но $22{,}88>10$, это ещё не стандартный вид!
4Снова сдвигаем запятую: $22{,}88\cdot10^{1}=2{,}288\cdot10^{2}$. Вот теперь множитель $2{,}288$ лежит в $[1;10)$ — это и есть стандартный вид результата.
⚠️Частая ошибкаПри умножении чисел в стандартном виде ученики верно перемножают первые множители и складывают показатели степени, но забывают проверить, что новый множитель остался в границах $[1;10)$. Как в примере выше: $22{,}88\cdot10^{1}$ — верное промежуточное произведение, но не ответ, потому что $22{,}88>10$. Нужно ещё раз сдвинуть запятую и подправить показатель степени: $2{,}288\cdot10^{2}$.
Сравни величины сам
Справа — шкала порядков величины. Каждая точка — число в стандартном виде из этой темы. Кликни по двум точкам, чтобы сравнить их: программа покажет, во сколько раз одно число больше другого и на сколько порядков они различаются.
Запомни
🧠ИтогиСравнение чисел в стандартном виде: сначала порядок $n$, затем (если порядки равны) первый множитель $a_0$. Разница порядков сразу показывает, во сколько раз (степенью $10$) числа отличаются друг от друга. При умножении: множители перемножаются, показатели складываются; при делении — множители делятся, показатели вычитаются. Если множитель вышел за пределы $[1;10)$ — снова приведи результат к стандартному виду.