Каково население Дальневосточного федерального округа? Сколько книг в школьных библиотеках России? Ответить на такие вопросы можно только приближённо.
Приближённые значения возникают не только при подсчёте большого количества объектов, но и при измерениях — длины, скорости, силы тока и т. д. Вы уже встречались с приближёнными значениями, когда округляли действительные числа, находили десятичные приближения обыкновенной дроби, решали графически уравнения и системы. На практике важно знать, насколько приближённое значение величины может отличаться от её точного значения.
Пусть $a$ — приближённое значение с точностью до $h$ величины, точное значение которой равно $x$. Тогда $x=a\pm h$. Отсюда $a-h\le x\le a+h$, то есть $-h\le x-a\le h$, а значит:
$$|x-a|\le h$$Если $a$ — приближённое значение $x$ с точностью до $h$, то абсолютная погрешность приближения не превосходит $h$: $|x-a|\le h$. Другими словами, максимальное отклонение приближённого значения от точного не превосходит $h$. Подвигай точку $x$ на числовой прямой справа и посмотри, при каких $x$ приближение $a=60$ с точностью $h$ остаётся верным.
Например, число $1{,}414$ — приближённое значение $\sqrt2$ с точностью до $0{,}001$: $|\sqrt2-1{,}414|\le0{,}001$.
В таблицах физических величин запись приближённого значения сама подсказывает точность. Например, плотность платины указана как $21{,}45$ г/см³ — последняя цифра принадлежит разряду сотых, значит точность приближения не превосходит $0{,}01$ г/см³, т. е. $\rho=21{,}45\pm0{,}01$ г/см³.
В справочниках приближённые значения часто записывают в стандартном виде $a\cdot10^{n}$ ($1\le a<10$). Например, масса Солнца $m=1{,}99\cdot10^{30}$ кг означает $m=(1{,}99\pm0{,}01)\cdot10^{30}$ кг, т. е. точность приближения — $10^{28}$ кг.
Число $10^{28}$ огромно, и может показаться, что масса Солнца измерена плохо. Чтобы это оценить, сравним с другой ситуацией: вам поручили купить 1 кг свёклы, и весы взвешивают с точностью до $0{,}01$ кг. Величина $0{,}01$ кг ничтожно мала по сравнению с $10^{28}$ кг. Но $0{,}01$ составляет бо́льшую долю от $1$ кг, чем $10^{28}$ кг от массы Солнца: $10^{28}/(1{,}99\cdot10^{30})\approx1/199\approx0{,}005$, а $0{,}01/1=0{,}01$. Значит, масса Солнца измерена точнее, чем свёкла — первое измерение имеет относительную погрешность около $1/199$, второе — $0{,}01$.
Относительную погрешность обычно выражают в процентах. Масса Солнца измерена с относительной погрешностью около $0{,}5\%$, масса свёклы — около $1\%$.