🏦Из жизниБанковский вклад растёт как снежный ком: каждый год начисленные проценты остаются на счёте и в следующем году сами начинают «работать» — на них тоже капают проценты. Из-за этого через несколько лет вклад увеличивается заметно сильнее, чем если бы банк каждый год начислял одну и ту же сумму. Разобраться, насколько именно сильнее, и поможет формула этого параграфа.
Повторение: три типа задач на проценты
Вы уже умеете конструировать математические модели этих задач с помощью таких выражений:
нахождение $p\%$ от числа $a$ — $\tfrac{a\cdot p}{100}$;
нахождение числа, $p\%$ которого равны $a$, — $\tfrac{a\cdot100}{p}$;
нахождение процентного отношения числа $a$ к числу $b$ — $\tfrac{a}{b}\cdot100\%$.
Задача о вкладе
Вкладчик положил в банк 100 000 р. под 10 % годовых. Какая сумма будет на его счёте через 3 года, если вкладчик в течение этого срока не снимает денег со счёта?
Пусть $a_0$ — первоначальный капитал вкладчика, т. е. $a_0=100\,000$ р. Обозначим через $a_1,a_2,a_3$ количество денег на счёте в конце первого, второго, третьего годов.
1В конце первого года первоначальный капитал $a_0$ вырос на $10\%$. Значит, $a_1$ составляет $110\%$ от $a_0$: $a_1=a_0\cdot1{,}1=100\,000\cdot1{,}1=110\,000$ р.
2В конце второго года число $a_1$ снова увеличилось на $10\%$: $a_2=a_1\cdot1{,}1=a_0\cdot1{,}1^2=100\,000\cdot1{,}1^2=121\,000$ р.
3В конце третьего года число $a_2$ увеличилось на $10\%$: $a_3=a_2\cdot1{,}1=a_0\cdot1{,}1^3=100\,000\cdot1{,}1^3=133\,100$ р.
4Ответ: 133 100 р.
Формула сложных процентов
Аналогично решают эту задачу в общем виде, когда первоначальный капитал $a_0$ положили в банк под $p\%$ годовых.
В конце первого года капитал увеличится на $\tfrac{a_0 p}{100}$ и станет равным $a_1=a_0+\tfrac{a_0 p}{100}=a_0\left(1+\tfrac{p}{100}\right)$, т. е. вырастет в $\left(1+\tfrac{p}{100}\right)$ раз.
В конце второго года сумма снова вырастет в $\left(1+\tfrac{p}{100}\right)$ раз и станет равной $a_2=a_1\left(1+\tfrac{p}{100}\right)=a_0\left(1+\tfrac{p}{100}\right)^2$.
Следовательно, в конце $n$-го года будем иметь:
📘Формула сложных процентов
$$a_n=a_0\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^{n}$$
⚠️Частая ошибкаУченик считает проценты «по-простому»: каждый год прибавляет одну и ту же сумму $\tfrac{a_0 p}{100}$, то есть использует формулу $a_n=a_0\left(1+\tfrac{pn}{100}\right)$. Это верно только для одного года. Начиная со второго года проценты начисляются уже на выросшую сумму, а не на первоначальный вклад — поэтому нельзя просто умножать процент на число лет. На графике справа хорошо видно, что «простой» рост — это прямая линия, а настоящий вклад растёт по кривой и обгоняет её всё сильнее с каждым годом.
Запомни
🧠Сложные проценты — формула $a_n=a_0(1+p/100)^n$
$a_0$ — первоначальный капитал (или величина);
$p$ — процент прироста за один период (например, год);
$n$ — число периодов;
$a_n$ — итоговая величина через $n$ периодов.
Каждый год проценты начисляются не на $a_0$, а на текущую сумму — поэтому рост ускоряется со временем.