9 класс · Элементы прикладной математики

Классическое определение вероятности

🎒 Из жизниДля нахождения вероятности некоторых событий необязательно проводить испытания или наблюдения. Достаточно руководствоваться жизненным опытом и здравым смыслом — например, глядя на состав шаров в мешке, можно сразу сказать, шар какого цвета вытащить легче, даже не доставая ни одного.

Достоверное и невозможное события

Пример 1. Пусть в коробке лежат 10 красных шаров. Какова вероятность того, что взятый наугад шар будет красного цвета; жёлтого цвета?

Решение. При заданных условиях любой взятый наугад шар будет красного цвета.

📘 Достоверное событиеСобытие, которое при данном комплексе условий обязательно состоится при любом испытании, называют достоверным. Вероятность такого события считают равной 1: если $A$ — достоверное событие, то $P(A)=1$.

Поскольку в коробке нет шаров жёлтого цвета, то взять шар жёлтого цвета нельзя.

📘 Невозможное событиеСобытие, которое при данном комплексе условий не может состояться ни при каком испытании, называют невозможным. Вероятность такого события считают равной 0: если $A$ — невозможное событие, то $P(A)=0$.

Ответ: 1; 0.

Равновозможные результаты

Пример 2. Однородную монету подбрасывают один раз. Какова вероятность выпадения герба?

Решение. В этом эксперименте можно получить только один из двух результатов (исходов): выпадение числа или выпадение герба. Причём ни один из них не имеет преимуществ.

📘 Равновозможные результатыРезультаты испытания, ни один из которых не имеет преимуществ перед другими, называют равновозможными, а соответствующие случайные события — равновероятными.

Тогда считают, что вероятность каждого из событий «выпадение герба» и «выпадение числа» равна $\tfrac12$. Ответ: $\tfrac12$.

Пример 3. Игральный кубик бросают один раз. Какова вероятность выпадения цифры 4?

Решение. В этом эксперименте можно получить один из шести равновозможных результатов. Поэтому вероятность события «выпадение 4 очков» равна $\tfrac16$. Ответ: $\tfrac16$.

Классическое определение вероятности

Несмотря на то что в примерах 1–3 рассматривались разные эксперименты, их описывает одна математическая модель: исходом испытания является один из n равновозможных результатов, из которых m результатов приводят к наступлению события $A$ — их называют благоприятными.

📘 Классическое определение вероятностиЕсли испытание может закончиться одним из $n$ равновозможных результатов, из которых $m$ приводят к наступлению события $A$, то вероятностью события $A$ называют отношение $\tfrac{m}{n}$: $$P(A)=\dfrac{m}{n}$$
⚠️ Частая ошибкаФормулу $P(A)=\tfrac{m}{n}$ нельзя применять, если результаты испытания не являются равновозможными. Например, при подбрасывании двух монет наивно кажется, что есть три исхода: «два герба», «две решки», «герб и решка» — и вероятность «хотя бы одного герба» равна $\tfrac23$. Но эти три исхода неравновозможны! Если пронумеровать монеты, получится четыре равновозможных исхода: (Г,Г), (Г,Р), (Р,Г), (Р,Р) — и верный ответ $\tfrac34$. Эту же ошибку в XVIII веке допустил математик Д'Аламбер, решая ту же задачу.

Примеры вычисления

Пример 4. Выпущено 100 000 лотерейных билетов, 20 из которых — выигрышные. Какова вероятность выигрыша при покупке одного билета?

Решение. $n=100\,000$ равновозможных результатов, $m=20$ из них выигрышные: $$P(A)=\dfrac{20}{100\,000}=\dfrac{1}{5000}$$

Пример 5. В коробке лежат 15 шаров, пронумерованных числами от 1 до 15. Какова вероятность того, что вынутый наугад шар будет иметь номер, кратный 3?

Решение. Из $n=15$ равновозможных результатов событию благоприятствуют $m=5$ (номера 3, 6, 9, 12, 15): $$P(A)=\dfrac{5}{15}=\dfrac{1}{3}$$

Запомни

🧠 Классическое определение вероятности
  • $P(A)=\tfrac{m}{n}$, где $n$ — число всех равновозможных исходов, $m$ — число благоприятных;
  • Достоверное событие: $P(A)=1$. Невозможное событие: $P(A)=0$;
  • Формулу применяют, только если все исходы равновозможны — иначе классическое определение не работает;
  • Всегда $0 \le P(A) \le 1$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике