1.2. Множества чисел. Свойства действительных чисел
🗂️Из жизниПредставь набор матрёшек одна в другой: натуральные числа сидят внутри целых, целые — внутри рациональных, а рациональные — внутри всех действительных. Про такие «вложенные» коллекции чисел удобно говорить как про множества — а ещё удобно описывать не отдельные числа, а сразу «промежуток» чисел, например «все $x$ от $1$ до $5$».
Обозначения множеств чисел
Приняты стандартные обозначения: $\mathbb{N}$ — натуральные числа, $\mathbb{Z}$ — целые, $\mathbb{Q}$ — рациональные, $\mathbb{R}$ — действительные, $\mathbb{R}_+$ — положительные действительные. Каждое следующее множество полностью содержит предыдущее:
На интерактиве справа (вкладка «Множества чисел») кликай по числам $5$, $-3$, $0{,}75$, $\sqrt2$ и $\pi$ — вложенные рамки покажут, каким множествам принадлежит каждое из них.
Числовые промежутки
Для описания множества чисел «между $a$ и $b$» используют такие обозначения (концы промежутка — числа $a$ и $b$):
1
Отрезок $[a;b]$ — все $x$, для которых $a \le x \le b$ (оба конца включены).
2
Интервал $(a;b)$ — все $x$, для которых $a < x < b$ (концы не включены).
3
Полуинтервалы $[a;b)$ и $(a;b]$ — один конец включён, другой нет.
На интерактиве справа (вкладка «Промежутки») перетащи точки $a$ и $b$ и переключай тип промежутка — закрашенные и пустые кружки на концах покажут, включена граница или нет. У $a$ вместо числа может стоять $-\infty$, у $b$ — $+\infty$; тогда промежуток продолжается неограниченно, а $(-\infty;+\infty)=\mathbb{R}$.
Общее название отрезков, интервалов и полуинтервалов — числовые промежутки.
Объединение и пересечение множеств
Если $A$ и $B$ — множества, их объединение $A \cup B$ состоит из элементов, входящих хотя бы в одно из них, а пересечение $A \cap B$ — только из общих элементов. Например, для $A=[0;2]$ и $B=[1;3]$: $A \cup B = [0;3]$, $A \cap B = [1;2]$. А для $A=[-1;1]$ и $B=(1;2)$ общих точек нет: $A \cap B = \varnothing$ (пустое множество).
🔗ПодмножествоЕсли каждый элемент множества $A$ является элементом множества $B$, то $A$ называют подмножеством $B$: $A \subset B$. Пустое множество $\varnothing$ — подмножество любого множества.
Свойства действительных чисел
Все привычные правила работы с числами — не случайность, а список свойств, из которых выводится всё остальное. Кратко, по группам:
Порядок: для любых $a$ и $b$ верно ровно одно из $a=b$, $ab$; из $a
Сложение: $a+b=b+a$, $(a+b)+c=a+(b+c)$, $a+0=a$, $a+(-a)=0$; из $a
Умножение: $a\cdot b=b\cdot a$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$, $a\cdot 1=a$, $(a+b)\cdot c = ac+bc$; из $a0$ следует $ac
Архимедово свойство и непрерывность
Архимедово свойство: для любых $b>a>0$ найдётся натуральное $n$, такое что $an>b$ — отложив меньший отрезок достаточное число раз, всегда можно превзойти больший.
Непрерывность: у действительных чисел нет «дырок». Если взять бесконечную цепочку вложенных друг в друга отрезков, которые всё сильнее сужаются к нулю, всегда найдётся ровно одна точка, принадлежащая им всем сразу. У рациональных чисел это свойство не выполняется.
⚠️Частая ошибкаБесконечность записывают только с круглой скобкой: $(a;+\infty)$, $(-\infty;b]$, $(-\infty;+\infty)$. Запись вида $[a;+\infty]$ — ошибка: $+\infty$ и $-\infty$ не являются числами и не могут быть «включённым» концом промежутка.
Запомни
🧠Множества чисел
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ — каждое множество содержит предыдущее;
$[a;b]$ — отрезок (оба конца включены), $(a;b)$ — интервал (оба исключены), $[a;b)$ и $(a;b]$ — полуинтервалы;
$A \cup B$ — элементы хотя бы одного множества, $A \cap B$ — только общие элементы;
у $\pm\infty$ всегда круглая скобка — бесконечность не бывает «включённым» концом.