10 класс · Корни, степени, логарифмы

Множества чисел. Свойства действительных чисел

🗂️ Из жизниПредставь набор матрёшек одна в другой: натуральные числа сидят внутри целых, целые — внутри рациональных, а рациональные — внутри всех действительных. Про такие «вложенные» коллекции чисел удобно говорить как про множества — а ещё удобно описывать не отдельные числа, а сразу «промежуток» чисел, например «все $x$ от $1$ до $5$».

Обозначения множеств чисел

Приняты стандартные обозначения: $\mathbb{N}$ — натуральные числа, $\mathbb{Z}$ — целые, $\mathbb{Q}$ — рациональные, $\mathbb{R}$ — действительные, $\mathbb{R}_+$ — положительные действительные. Каждое следующее множество полностью содержит предыдущее:

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

На интерактиве (вкладка «Множества чисел») кликай по числам $5$, $-3$, $0{,}75$, $\sqrt2$ и $\pi$ — вложенные рамки покажут, каким множествам принадлежит каждое из них.

Числовые промежутки

Для описания множества чисел «между $a$ и $b$» используют такие обозначения (концы промежутка — числа $a$ и $b$):

1
Отрезок $[a;b]$ — все $x$, для которых $a \le x \le b$ (оба конца включены).
2
Интервал $(a;b)$ — все $x$, для которых $a < x < b$ (концы не включены).
3
Полуинтервалы $[a;b)$ и $(a;b]$ — один конец включён, другой нет.

На интерактиве (вкладка «Промежутки») перетащи точки $a$ и $b$ и переключай тип промежутка — закрашенные и пустые кружки на концах покажут, включена граница или нет. У $a$ вместо числа может стоять $-\infty$, у $b$ — $+\infty$; тогда промежуток продолжается неограниченно, а $(-\infty;+\infty)=\mathbb{R}$.

Общее название отрезков, интервалов и полуинтервалов — числовые промежутки.

Объединение и пересечение множеств

Если $A$ и $B$ — множества, их объединение $A \cup B$ состоит из элементов, входящих хотя бы в одно из них, а пересечение $A \cap B$ — только из общих элементов. Например, для $A=[0;2]$ и $B=[1;3]$: $A \cup B = [0;3]$, $A \cap B = [1;2]$. А для $A=[-1;1]$ и $B=(1;2)$ общих точек нет: $A \cap B = \varnothing$ (пустое множество).

🔗 ПодмножествоЕсли каждый элемент множества $A$ является элементом множества $B$, то $A$ называют подмножеством $B$: $A \subset B$. Пустое множество $\varnothing$ — подмножество любого множества.

Свойства действительных чисел

Все привычные правила работы с числами — не случайность, а список свойств, из которых выводится всё остальное. Кратко, по группам:

  • Порядок: для любых $a$ и $b$ верно ровно одно из $a=b$, $a\lt b$, $a>b$; из $a\lt b$ и $b\lt c$ следует $a\lt c$ (транзитивность); между любыми $a\lt b$ найдётся $c$ такое что $a\lt c\lt b$.
  • Сложение: $a+b=b+a$, $(a+b)+c=a+(b+c)$, $a+0=a$, $a+(-a)=0$; из $a\lt b$ следует $a+c\lt b+c$ для любого $c$.
  • Умножение: $a\cdot b=b\cdot a$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$, $a\cdot 1=a$, $(a+b)\cdot c = ac+bc$; из $a\lt b$ и $c>0$ следует $ac\lt bc$.

Архимедово свойство и непрерывность

Архимедово свойство: для любых $b>a>0$ найдётся натуральное $n$, такое что $an>b$ — отложив меньший отрезок достаточное число раз, всегда можно превзойти больший.

Непрерывность: у действительных чисел нет «дырок». Если взять бесконечную цепочку вложенных друг в друга отрезков, которые всё сильнее сужаются к нулю, всегда найдётся ровно одна точка, принадлежащая им всем сразу. У рациональных чисел это свойство не выполняется.

⚠️ Частая ошибкаБесконечность записывают только с круглой скобкой: $(a;+\infty)$, $(-\infty;b]$, $(-\infty;+\infty)$. Запись вида $[a;+\infty]$ — ошибка: $+\infty$ и $-\infty$ не являются числами и не могут быть «включённым» концом промежутка.

Запомни

🧠 Множества чисел
  • $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ — каждое множество содержит предыдущее;
  • $[a;b]$ — отрезок (оба конца включены), $(a;b)$ — интервал (оба исключены), $[a;b)$ и $(a;b]$ — полуинтервалы;
  • $A \cup B$ — элементы хотя бы одного множества, $A \cap B$ — только общие элементы;
  • у $\pm\infty$ всегда круглая скобка — бесконечность не бывает «включённым» концом.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике