Натуральные числа $1,2,3,4,\ldots$ — ими считают предметы; сумма и произведение двух натуральных чисел — снова натуральное, а вот разность и частное — не всегда. Целые числа $\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots$ добавляют нуль и отрицательные числа; для них уже верны сумма, разность и произведение, но частное — не всегда целое.
Разделив числитель $p$ на знаменатель $q$ уголком, любую рациональную дробь можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби — и наоборот, любая периодическая дробь задаёт рациональное число. Но существуют и бесконечные десятичные дроби без периода — их называют иррациональными числами (например, $\sqrt2$ или $\pi$).
У каждого действительного числа есть ровно одно десятичное разложение — если не рассматривать дроби с периодом $9$. Например, число $2{,}4$ формально можно записать и как $2{,}4000\ldots$, и как $2{,}3999\ldots$ — по договорённости берут только первую запись, без периода $9$. Это нужно, чтобы разложения можно было однозначно сравнивать между собой: бесконечные десятичные дроби сравнивают по тем же правилам, что и конечные.
Зафиксируем прямую с точкой отсчёта $O$, положительным направлением и единичным отрезком — это координатная ось. Точке $A$ на положительном луче ставится в соответствие число $x=OA$ (длина отрезка), точке $B$ на отрицательном — число $x=-OB$, а точке $O$ — число $0$.
Верно и обратное: для каждого действительного числа найдётся ровно одна точка оси с такой координатой. Если бы иррациональных чисел не было, на оси остались бы «дыры» — только с точками рациональных чисел ось не была бы сплошной.
На интерактиве справа перетащи точку по координатной оси и посмотри, как меняется её значение $x$ и модуль $|x|$ — расстояние от точки до начала отсчёта. Кнопками ниже можно быстро поставить точку в одно из характерных чисел: $5$, $-3$, $0{,}75$, $\sqrt2$, $\pi$ — интерактив покажет, рациональное это число или иррациональное.